量本来是抽象的，为了容易想象的缘故，我们前面说导数的效用和计算法的时候，曾经找出运动的现象来做例子。现在更要确切一点地来讲明白数学的函数的意义，我们用的方法虽然和前面已经用过的相仿佛，但要比它更一般些。

导数的一般的定义是怎样的呢？

从以前所讲过的许多例子，我们知道：导数是表示函数的变化的，无论那函数所倚靠着的变数，它的变化小到什么地步，总归可表示出函数在那当儿所起的变化。导数指示给我们看，那函数什么时候渐渐变大和什么时候渐渐变小。它又指示给我们，这种变化什么时候来得快，什么时候来得慢。而且它所能指示的，并不是大体的情形，简直连变数的值虽只有无限小的一点变化，函数的变化状态，也指示得非常清楚。因此，研究函数的时候，导数实在占着很重要的位置。关于这种巧妙的方法的研究和解释，以及它的计算的发明，都是非常有趣的。它的发明真是十分的奇异，而结果又十分的丰富，这可算得是一种奇迹吧！

然而追根究底，它不过是从数学的符号的运用当中诱导出来的。不是吗？我们用?这样一个符号放在一个量的前面，算它所表示的量是无限地小，它可以逐渐减小下去，而且是可以无限地减小下去的。我们跟着就研究这种无限小的量的关系，便得出导数这一个奇怪的量。

不过起源虽很简单，但这些符号也并不是就可以任意诱导出来的。照我们前面所已讲明的看来，它们原是为了研究任何函数无限小的变化的基本运算才产生的。它逐渐展开的结果，对于一般的数学的解析，却变成了一个很精当的工具。

这也就是数学中微分学这一部分，又有人叫它是解析数学的原因。

一直到这里，我们已经好几次说到，对于导数这一类的东西，要给它一个精确的定义，但始终还是没有做到，这总算一件憾事。原来要抽象地了解它，本不很容易，所以还只得慢慢地再说吧。单是从数学计算的实际上，这些东西的定义是不能再找到的了，所以仍旧只好请符号来说明。一起头举例，我们就用字母来代表运动的东西，这已是一种符号的用法。

后来讲到函数，我们又用到下面这种形式的一个式子：

y=f（x）

这式子自然也只是一个符号。这符号所表示的意思，虽则前面已说过，为了明白起见，这里无妨再重述一遍。x表示一个变数，y表示随了x变的一个函数。换句话说，就是：对于x的每一个数值，我们都可以将y的相应的数值计算出来。

在函数以后讲到导数，又用过几个符号，将它连在一起，可以得出下面的一个式子：

再把话说得更像教科书式一些，那么：

朋友！你还记得吗？一开场我就说过，为这个符号我曾经碰了一次大钉子的，现在你也会见它了，总算便宜了你。你好好地记清楚它所表示的意义吧，用场多着呢。有了这个新符号，导数的式子又多一个写法：

dy和dx所表示的都是无限小的量，它们同名不同姓，dy叫着y的“微分”，dx叫x的“微分”。在这里，应得小心的是：dy或dx都只是一个符号，若看成和代数上写的ab或xy一般，以为是d和y或d和x相乘的意思，那就大错了。好比一个人姓张，你却叫他一声弓长先生，你想，他会不会对你失敬呢？

dy=y'dx

这就是说：“函数的微分等于导数和变数的微分的乘积。”

我们已经规定明白了几个数学符号的意思，什么是导数，什么是无限小，同着什么是微分，现在就来使用它们一回，用它们来研究和分解几个不同的变数。

对于这些符号，老实不客气，我们也可以照别的符号一般，用到各色的计算上面去。但是有一点却要非常地小心，和这些量的定义矛盾的地方就得避开。

闲话少讲，还是拿几个例子出来，先来个简单之中最简单的。

假如S是一个常数，等于三个有限的量a、b、c与三个无限小的量dx、dy、dz的和，我们就知道：

a+b+c+dx+dy+dz=S

在这个式子里面，因为dx、dy、dz都是无限小的变量，而且可以任我们的意使它们小到不可名言的地步的。因此干脆一点，我们简直可以使它们都等于零，那就得出下面的式子：

a+b+c=S

你又会要捉到一个漏洞了。早先我们说芝诺把无限小想成等于零是错的，现在我却自己马马虎虎地也跳进了这个圈子。但是，朋友！小心之余还得小心，捉漏洞，你要看好了它真是一个漏洞，不然，近视眼看着墙壁上的一只小钉，当是苍蝇，一手拍去，于钉子固无伤，然而如手痛何！

在这个例子中，因为S和a、b、c全都是有限的量，一点儿偷换不来，留几个小把戏夹杂在当中跳去跳来的，反而不雅观，这才可以干脆说它们都等于零。芝诺所谈的问题，他讲到无限小的时间同时讲到无限小的空间，两个小把戏自己跳在一起，那就马虎不得，干脆不来了。所以假如在一个式子中不但有无限小的量，还有几个无限小的量相互关联着，那我们就没有硬派它们等于零，将它们消去的权利，我们在前面不是已经看到过吗？无限小和无限小关联着，会得出有限的值来的。朋友！有一句俗话说：“一斗芝麻拣出一颗，有它无多，无它不少。”但是倘若就只有两三颗芝麻，你拣去了一颗，不是只剩二分之一或三分之一了吗？

无限小可以省去和不能省去的条件你明白了吗？无限大也是一样的。

上面的例子是说，在一个式子当中，若是含有一些有限的数和一些无限小的数，那无限小的数可以略掉。假如在一个式子中所含有的，有些是无限小的数，有些却是两个无限小的数的乘积。小数和小数相乘，数值便越乘越小。一个无限小的数已够小了，何况还是两个无限小的数的乘积呢。因此，这个乘积对于无限小的数，同前面的理由一般，也可以略去。假如我们有下面的一个式子：

dy=y'dx+dvdx

在这里面dv也是一个无限小的数，所以右边的第二项便是两个无限小的数的乘积，它对于一个无限小的数说起来，简直是无限小中的无限小。对于有限数，无限小的数可以略去。同样地，对于无限小的数，这无限小中的无限小，也就可以略去。

两个无限小的数的乘积，对于一个无限小的数说，我们称它为二次无限小数。同样地，假如有三个或四个无限小数相乘的积，对于一个无限小的数（平常我们也说它是一次无限小的数），我们就称它为三次或四次无限小的数。通常二次以上的，我们都称它们为高次无限小的数。假如，我们把有限的数，当成零次的无限的小数看，那么，我们可以这样说：在一个式子中，次数较高的无限小数对于次数较低的，可以略去。所以，一次无限小的数对于有限的数，可以略去，二次无限小的数对于一次的，也可以略去。

在前面的式子当中，我们已经知道，若两边都用同样的数去除，结果还是相等的。我们现在就用dx去除，于是我们得：

这个式子和原来的式子比较，就是少了那两个无限小的数的乘积（dv dx）这一项。

这一节我们就此停止，再换个新鲜的题目来谈吧！