数学上的一切法则，都有一个极应当留意到的特性，这就是无论什么法则，在它成立的时候，使用的范围虽然有一定的限制，但我们也可尝试一下，将它扩充出去，用到一切的数或一切的已知函数。我们可将它和别的法则联合起来，使它用了出去，能够产生更大的效果。

呵！这又是一段“且夫天下之人”一流的空话了，还是举例吧。

在算术里面，学了加法，就学减法，但是它真小气得很，只许可你从一个数当中减去一个较小的数，因此，我们用起它来就有时免不了要碰壁。比如从一斤减去八两，你立刻就回答得出来，还剩半斤[8]。但是要从半斤减去十六两，那你还有什么法子！碰了壁就完了吗？人总是不服气的，越是触霉头越想往那中间钻。除非你是懒得动弹的大少爷，或是没有力气的大小姐，碰了壁才肯就丢手！那么，在这碰壁的当儿，额角是碰痛了，痛定思痛，总得找条出路，从半斤减去十六两怎样减法呢？我们发狠一想，便有两条路：一条我们无妨说它是“大马路”，因为人人会走，而且特别是大少爷和大小姐怕多用心的，喜欢去散步的。这是怎么？其实只是一条不是路的路，就是我们干干脆脆地回答三个字“不可能”。你已说不可能了，谁还会再和你为难呢，这不是就以不了了之了吗？然而，仔细一想，朋友，不客气说，咱们这些享有四千多年文化的黄帝的子孙，现在[9]弄得焦头烂额，衣食都不能自给，就是上了这一不了了之的当了。“不可能！不可能！”老是这样叫着，不但要自己动手，推脱说是不可能，连别人明明已经做出了的，初听见乍看着，因为怕想一想的缘故，也还说不可能。见了火车，有人和你说，别人已有东西可以在空中飞，你心里会想到“这不可能”；见了一根一根电线搭在空中，别人和你说，现在已有不要线的电报、电话，你心里也会想到“这是不可能”……朋友！什么是可能的呢？请你回答我！你不愿意答应吗？我替你回答：

“老祖宗传下来的，别人做现成的，都可能。此外，那就要看别人，和别人的少爷、小姐，好少爷、好小姐们了！”呵！多么大气量！

对不起，笔一溜，说了不少的废话，而且也许还很失敬，不过我还得声明一句，本心无他，希望你和我不要无论想到什么地方都只往“大马路”上混，我们的路是第二条。

我们要从半斤减去十六两碰了壁，我们硬不服，创出一个负数的户头来记这笔苦账，这就是说，将减法的定义扩充到正负两种数。不是吗？你欠别人十六两高粱酒，他来向你讨，偏偏不凑巧你只有半斤，你要还清他，不是差八两吗？“差”的就是负数了！

法则的扩充，还有一条路。因为我们将一个法则的限制打破，只是让它能够活动的范围扩大起来。但除此以外，有时，我们又要求它能够简单些，少消耗我们一点力量，让我们在别方面也去活动活动。这，举个例子说，就是一种法则若是要重重复复地用时，我们也可以想一个归总的来代替它。比如，要你从150减去3，减了一次又减一次地继续下去，看多少次可以减完。这题目自然是可能的，但真要去减谁这样耐烦！真没趣得很，是不是？于是我们就另开辟一条行人便道，那便是除法。将3去除150就得50。要回答上面的问题，你说多少次可减完？同样地，加法，若只是同一个数尽管加了又加，也乏味得很，又另开辟一条路，挂块牌子叫乘法。

归到近一些的地方吧！我们以前讲过的一些方法，也可以扩张它的应用的范围吗？也可以将它的法则推广吗？

讲导数的时候，我们限定了，说对于x的每一个值，它都有一个有定的极限。所以，我们就知道，对于x的每一个值，它都有一个相应的值。归根结底，我们便可以将导数y'看成x的已知函数。结果，我们也就一样地，可以计算导数y'对于x的导数，这就成为导数的导数了。我们叫它是二阶导数，并且用y'表示它。

实在呢，要得出一个函数的二阶导数，并不是难事，只是将导数法连用两次就好了，比如前面我们拿来做例子的：

e=t2 （1）

它的导数是：

e'=2t （2）

将这个函数，照d=5t的例子计算，就可得出二阶导数：

e"=2 （3）

二阶导数对于导数的关系，恰和导数对于本来的函数的关系相同。导数表示本来的函数的变化，同样地，二阶导数就表示导数的变化。

我们开始讲导数时，用运动来做例子，现在再借重它来解释二阶导数，看能有什么玩意儿生出来不能。

我们曾经从运动当中看出来，导数是表示每一刹那间，一个点的速度。所谓速度的变化究竟是什么意思呢？假如一个东西，第一秒钟的速度是4尺，第二秒钟是6尺，第三秒钟的是8尺，这速度越来越大，按我们平常的说法，就是它越动越快。若是文气一点说，便是它的速度逐渐增加，你只不要把“增加”这个词看太呆板了，那么所谓增加也就是变化的意思。所以速度的变化，就只是运动的速度的增加，我们便说它是那运动的“加速度”。

要想求出一个运动着的点，它在一刹那间的加速度，只需将从前我们所用过的求一刹那间的速度的方法，重复用一次就行了。不过，在第二次的时候，有一点必得加以注意，第一次我们求的是距离对于时间的导数，而第二次所求的却是速度对于时间的导数。结果，所谓加速度这个东西，它就是等于速度对于时间的导数。我们可以用下面的一个式子来表示这种关系：

因为速度，它自己是用运动所经过的空间对于时间的导数来表示，所以加速度也只是这运动所经过的空间对于时间的二阶导数。

有了导数和二阶导数，应用它们，对于运动的情形我们更能知道得清楚些，它的速度的变化是怎样一个情景，我们便可完全明了。

假如一个点始终是静止着的，那么它的速度便是零，于是导数也就等于零。

反过来，假如导数，或是说速度，它等于零，我们就可以断定那个点是静止的。

跟着这个推论，比如已经知道了一种运动的法则，我们想要找出这运动着的点归到静止的时间，我们只要找出什么时候，它的导数等于零，那就成了。

随便举个例子来说，假设有一个点，它的运动法则是：

d=t2-5t

由以前讲过的例子，t2的导数是2t，而5t的导数是5，所以：

d'=2t-5 [10]

就是这个点的速度，在每一刹那t间是2t-5，若要问这个点什么时候得到静止，只要找出什么时候它的速度等于零就行了。但是，它的速度就是这运动的导数d'。所以若d'等于零时，这个点就是静止的。我们再来看d'怎样才等于零。它既等于2t-5，那么2t-5若等于零，d'也就等于零。因此我们可以进一步来看2t-5等于零需要什么条件。我们试解下面的简单方程式：

2t-5=0

解这个方程式的法则，我相信你没有忘掉，所以我只简洁地回答你，这方程式的根是2.5。假如t是用秒做单位的，那么，便是两秒半钟的时候，d'等于零，就是那个点，在开始运动后两秒半钟归于静止。

现在，我们另外讨论别的问题，假如那点的运动是匀速的，那么，导数或是说速度，它是一个常数。因此，它的加速度，或是说它的速度的变化，便等于零，也就是二阶导数等于零。一般的情况，一个常数的导数总是等于零的。

又可以掉过话头来说，假如有一种运动法则，它的二阶导数是零，那么它的加速度自然也是零。这就是表明它的速度老是一个样子没有什么变化。从这一点，我们可以知道，一个函数，若它的导数是零，它便是一个常数。

再继续着推上去，若是加速度或二阶导数，不是一个常数，我们又可以看它有什么变化了。要知道它的变化，我们不必用别的法子，还是找它的导数。这一来，我们却得的是三阶导数。在一般的情形当中，这三阶导数也不一定就等于零的。假如，它还不是一个常数，它就可以有导数，这便成第四次的了。照这样可以尽管推下去，我们不过连续地重复用那导数法罢了。无论第几次的导数，都是表示它前一次的函数的变化。

从这样看，关于函数变化的研究是可以穷追下去没有底的。导数不但可以二阶、三阶的，简直可以有无限阶的。这全看那些数的气量怎样，只要它不是被我们追过几次便板起脸孔，死气沉沉地成了一个常数，我们就可以追过不憩。

[8]旧制一斤合十六两，半斤即为八两。

[9]现在：指作者所处的20世纪三四十年代。

[10]（作者原注）这个式子也可以直接计算出来：

∵ d=t2-2t

d+?d=（t+?t）2-2（t+?t）

∴ ?d=（t+?t）2-2（t+?t）-d

=（t+?t）2-2（t+?t）-（t2-2t）

=（t2+2t?t+?t2）-2t-2?t-（t2-2t）

=2t?t-2?t+?t2