“无限小”的计算法，这真可以算得是一件宝货，你在数学的园地中走去走来，差不多都可以见着它。

在几何的院落里，特别可以看出它是怎样地玲珑。老实说，几何的院落现在这般地繁荣美丽，受它的恩赐很不少。牛顿把它发现了，莱布尼茨也把它发现了。但是他们俩并没有打过招呼，所以各人走的路也不同。莱布尼茨是在几何的院落里玩得兴致很浓，想在那里面加上些点缀，为了要解决一个极有趣味的问题，才发现了“无限小”这宝货，而且将它尽量地玩弄。

你在几何中，“切线”这一个名字，总不知碰见它过多少次了。所谓切线，照通常的说法，就是和一条曲线除了一点相挨着，再也不会和它相碰的那样一条直线。莱布尼茨在几何的园地中，津津有味地所要解决的问题就是：在任意一条曲线上的随便一点，要引一根切线的方法。有些曲线，比如圆或椭圆，在它们的上面随便一点，要引一根切线，这个方法学过几何的人都已知道了的。但是对于别的曲线，依了样却不能就把那葫芦画得出来。究竟一般的方法是怎样的呢？在几何的院落里，曾有许多人想找出打开这道门的锁匙，但都被它逃走了！

和莱布尼茨同时游赏数学的园地，而且在里面去加上些建筑或装饰的人，曾经找到过一条适当而且开阔的路去探寻各种曲线的堂奥：笛卡尔就在代数和几何两座院落当中筑了一条通路，这便是挂着“解析几何”这块牌子的那些地方。

依了解析几何的方法，数学的关系可用几何的图形表示出来，而一条曲线也可以用等式的形式去记录它。这个方法真有点神异，是不是？但是仔细追根究底，却非常简单，到了现在，我们看着简直是很平淡无奇了。然而，这条道路若不是像笛卡尔那样的才能是建筑不起来的！

要说明这个方法的用场，我们也先来举一个顶顶简单的例子。

你取一页白色的纸，钉在桌面上，并且预备好一把尺子、一块三角板、一支铅笔和一条橡皮。你用你的铅笔在那纸上作一个小黑点，马上就用橡皮将它擦去。你有什么方法能够将那个黑点的位置再找出来吗？你真将它擦到一点痕迹都不留，无论如何你再也没法去找回它来了。所以在一页纸上，要定一个点的位置，这种方法非常重要。

要定出一个点在纸面的位置的方法，实在不止一个，还是选一个容易明白的吧。你用三角板和铅笔，在纸上画一条水平线OH和一条垂直线OV。假如P是那位置应当确定的点，你由P引两条直线，一条水平的和一条垂直的（图中的虚线），这两条直线和前面画的两条，比如说相交在a点和b点，你就用尺子去量Oa和Ob。

设若量了出来Oa等于3厘米，Ob等于4厘米。

现在你把所画的P点和那两条虚线都用橡皮擦了去，只留下用作标准的两条直线OH和OV，这样你只需注意到Oa和Ob两距离。P点就可以很容易地再找出来。实际就是这样做法：从O点起在水平线OH上量出3厘米的一点a，再还是从O点起，在垂直线OV上量出4厘米的一点b。跟着，从a画一条垂直线，又从b画一条水平线。你是已经知道的，这两条线会相碰着，这相碰的一点，便是你所再要找的P点。

这个方法是比较简便的，但并不是独家经理的唯一无二[7]的方法。这里用到的是两个数，一个垂直距离和一个水平距离。但另外选两个适当的数，也可以把平面上一点的位置确定，不过别的方法都没这般平易罢了。

你在平面几何上曾经读过一条定理，说不平行的两条直线若不是全相重合就只能有一个交点，你总还记得吧！就因这个缘故，所以我们用一条垂直线和一条水平线，所能决定的点只有一个。依了同样的方法，用距O点不同的垂直线和水平线便可决定许多位置不同的点。你不相信吗？就用你的三角板和铅笔，胡乱画几条垂直线和水平线来看一看。

再请你回忆起平面几何上的一条定理来，那就是通过两个定点必能够画一条直线，而且也只能够画一条。所以，倘若你先在纸上画一条直线，只任意留下了两点，便将全线擦去，你若要再找出原来的那条直线，只需用你的尺子和铅笔将所留的两点连起来那就成了。你试试看，前后两条直线的位置有什么不同的地方没有？

前面说的只是点的位置，现在，我们更进一步来研究任意一段曲线，或是BC弧，我们也能够将它表示出来吗？

为了方便起见我和你先约束好：在水平线上从O起量出的距离我们用x代表，在垂直线上从O起量出的距离用y代表。这么一来，设若那段曲线上有一点P，从P向着OH和OV各画一条垂线，那么，无论P点在曲线上的什么地方，x和y都一定各有一个相应于这P点的位置的值。在BC一段曲线上，设想有一点P，从P向OH画一条垂线Pa，设若它和OH相交在a点；又从P向OV也画一条垂线Pb，设若它和OV相交在b点，Oa和Ob便是x和y相应于P点的值。你试在BC上另外取一点Q，依照这方法做起来，就可以看出x和y的值便不能同是Oa和Ob了。

接连在曲线BC上面，取一串的点，比如说是P1、P2、P3……从各点向OH和OV都画垂线，这就得出相应于P1、P2、P3……这些点的位置的x和y的值，x1、x2、x3……和y1、y2、y3……来。x的一串值x1、x2、x3……各都和y的一串值y1、y2、y3……中的一个相应。这些是你从图上一眼就会看得明白的。

倘若已将x和y的各自的一串值都画出，曲线BC的位置大体也就决定了。所以，实际上你若把P1、P2、P3……这一串点留着，而将曲线BC擦去，和前面画直线的一般，你就有方法能够再找出它来。因为x的每一个值，都相应于y的一串值中的一个，所以要决定曲线上的一点，我们就在OH上从O起取一段等于x的值，又在OV上从O起取一段等于相应于它的y的值。那么，这一点，就和前面的例子所说过的一般，便可完全决定。跟着，用同样的方法，将x的一串值和y的一串值都画出来，P1、P2、P3……这一串的点也就全然决定，曲线BC同样地也可将它决定了。

不过，这却要小心，前面我们说过，有了两点就可决定一条直线。在平面几何学上你还学过一条定理，有不在一条直线上的三点就可以决定一个圆周。但是一般的曲线，要有多少点才能将它决定，那是谁也回答不上来的，不是吗？曲线是弯来弯去的，没有画出来的时候哪个能完全明白它是怎样的弯法呢！所以，在实用上，真要由许多点来决定一条曲线，必须要画出很多的互相挨得很近的点，那条曲线才可以大体决定。并且这还须注意，无论怎样，倘然没有别的方法加以证明，你这样画出的总只是一条相近的曲线。

话说回头去，我们记好，以前所讲过的数学的函数的定义，把它来和这里所说的表示x和y的一串值的方法对照一番，这是有趣极了！我们既说，每一个x的值，都相应于y的一串值中的一个。那好，我们不是也就可以干干脆脆地说y是x的函数吗？要是掉过枪法，我们也就可以说x是y的函数。从这一点看起来，函数有些是可以用几何的方法表示的。

比如：y是x的函数，用几何的方法来表示就是这样：有一条曲线BC，又决定了x的大小，设若x等于Oa，我们实际上就可决定相当于它的y的值是Ob。

所以从解析数学这边看来，一个数学的函数是代表一条曲线的。但掉过头从几何那边看来，一条曲线就表示一个数学的函数。两边简直是合则双美的玩意儿。

要反过来说，也是非常容易的。假如有一个数学的函数：

y=f（x）

我们很能够给这函数一个几何的说明。

还是先画两条互相垂直的直线OH和OV。在水平线OH上面，我们取出x的一串值，而在垂直线OV上面，我们取出y的一串值。从各点都画OH或OV的垂线，从x和y的两两相应的值所画出的两垂线都有一个交点。这些点总集起来就决定了一条曲线，而且这条曲线就表示出了我们的函数。

举一个顶简单的例子吧：设若那已知的函数是y=x，表示它的曲线是什么？

先随便选一个x的值，例如x=2，那么相应于它的y的值也是2，所以相应于这一对值的曲线上的一点，就是从x=2和y=2这两点画出的两条垂线的交点。同样地，由x=3、x=4……我们就得出y=3、y=4……并且得出一串相应的点。联合这些点，就是我们要找来表示我们的函数的曲线。

我想，在这点，倘若你要挑剔的话，你一定捉到一个漏洞了！不是吗？图上画出的明明是一条直线，为什么我们在前面却尽管很亲切地叫它是曲线呢？但是，朋友！一个人究竟只有这样大的本领，写说明的时候，那图的影儿还不曾有一点，哪就会知道它是一条直线呀！若是画出图来是一条直线，便返回去将说明改过，这叫你看去，好像我是“未卜先知”了，成什么话呢？

我们说是曲线的变成了直线，这只是特别的情形，说到特别，朋友！我告诉你，这回的例子，真是特别得很，它不但是直线，而且和水平线OH以及和垂直线OV所成的角还是相等的，恰好45度，就好像你把一页正方块的纸对角折出来的那条折痕一般。

原来是要讲切线的，话却越说越远了，现在回到本题上面来吧。为了确定切线的意义，先设想一条曲线C，在这曲线上取一点P，接着过P点引一条割线AB和曲线C又在P'点相碰着。

请你将P'点慢慢地在曲线上向着P点这边移近起来，你可以看出，当你移动P'点的时候，AB的位置跟着也起了变动，它绕着固定的P点，依着箭头所指的方向慢慢地转动。到了P'点和P点碰在一起的辰光，这条直线AB便不再割断曲线C，只和它在P相挨着了。换句话说，就是在这当儿，直线AB变成了曲线C的切线。

再用到我们的水平线OH和垂直线OV。

设若曲线C表示一个函数。我们若是能够算出切线AB和水平线OH所夹的角，或是说AB对于OH的斜率，以及P点在曲线C上的位置。那么，过P点我们就可以将AB画出了。

呵，了不起！这么一来，我们又碰到难题目了！

怎样可以决定AB对于OH的斜率呢？

朋友，不要慌！你去问造房子的木匠去！你去问他，怎样可决定一座楼梯对于地面的斜率。

你一时找不着木匠去问吧！那么，我告诉你一个法子，你自己去做去。

你拿一根长竹竿，到一堵矮墙前面去。比如那矮墙的高是2米，你将你的竹竿斜靠在墙上边，竹竿落地的这一头恰好距墙脚4米。

这回你已知道你的竹竿靠着墙的一点离地的高和落地的一点距墙脚的远，它们的比恰好是：

这个比值就决定了你的竹竿对于地面的斜率。假如，你将你的竹竿靠到墙上边的时候，落地的一头距墙脚2米，就是说恰和靠着墙的一点离地的高相等。那么它们俩的比便是：

你总已经看出来了，这一次你的竹竿对于地面的倾斜度比前一次的来得陡些。

总括起来，简单地说，要决定斜率，只需知道“高”和“远”的比。

快可以归到一个结论了，让我们先把所要用来解答这个切线问题的材料集拢起来吧。第一，作一条水平线OH和一条垂直线OV；第二，画出我们的曲线；第三，过定点P和另外一点P'画一条直线将曲线切断，就是说过P和P'画一条割线。

先不要忘了我们的曲线C是用一个下面的已知函数表示的：

y=f（x）

相应于P点的x和y的值就算是x和y，相应于P'点的x和y的值设它们是x'和y'。从P画一条水平线和从P'所画的垂直线相遇在B点。我们先来决定割线PP'对于水平线PB的斜率。

这个斜率，和我们刚才说过的一般，是用“高”P'B和“远”PB的比来表示的，所以我们得出下面的式子：

到了这一步我们很明白地知道，我们所要解决的问题是：

“用来表示斜率的比，它能不能由曲线的函数的帮助来计算呢？”

跟着，来计算P点的切线的斜率，只要在曲线上使P'和P接近起来就成了。

要解决的问题总算解决了。归结起来，用一般的话说，这解答的步骤是这样。

知道了一条曲线和表示它的一个函数，那曲线上的任一点的切线的倾斜度，我们就可以计算。所以，通过曲线上的一点，引一条直线，若是它的斜率和我们已经算出来的一样，那么，这条直线就是我们所要找的切线了！

对于切线的问题。我们算是有了一个一般的解答了。但是，我问你，一直说到现在，我们所解决的都是些特别的例子，它能不能就用到一般的已定曲线上去呢？

还不能呢，还得要用数学的方法，再进一步找出它的一般的原理才行的。不过要达到这地步，也不是很困难的事。我们仔细再从我们所用的方法当中去探究一番，那就可以得到一个合意的回答了。

我们所用的方法，它含有什么性质呢？

假如我们记清楚从前所说过的什么连续函数咧，它的什么变化咧，这些变化的什么平均值咧，这一类的东西，将它们来比照一下，对于我们所用的方法，一定更加明了了。

一条曲线和一个函数，本可以看成是一般无二的东西，因为一个函数可以表示出它的性质，而它也可以把这个函数用图形表示。所以，一样的情形，一条曲线也就表示一个点的运动的情况。

为了要知道清楚运动的性质，我们曾经研究过用来表示这运动的函数有怎样的变化。研究的结果，将导数的意义也弄明白了。我们知道它在一般的形式下面，也是一个函数，函数一般的性质和变化它都含得有。

认为函数是表示一种运动的时候，它的导数，就是表示每一刹那间，这运动所有的速度。

丢开了运动不讲，在一般的情形当中，一个函数的导数，它含得有什么意义没有呢？

我们再简单地来看一看，导数是怎样被我们诱导出来的。我们先对于变数，使它任意加大一点，然后从这点出发去计算所要求的导数。就是找出相应于这点变化，那函数增加了多少，接着就求这两个增加的数的比。

因为函数的增加是依赖着变数的增加的，我们所以跟着就留意，在那增加的量很小很小的时候，它的变化是怎样的情形。

这样的做法，我们已说过好些次，而结果仍旧是一样的。那增加的量无限小的时候，这个比就达到一个有定的值。中间有个必要的条件，我们不要忘掉，就是这个比若有极限的时候，那个函数是连续的。

将这些情形和所讲过的计算一条曲线的切线的斜率的方法比较一下，我们不是很容易明白，它们实在没有什么分别吗？

末了，就得出这么一个结论：一个函数表示一条曲线，函数的每一个值都相应于那曲线上的一点，对于函数的每一个值的导数，就是那曲线上相应点的切线的斜率。

这样说来，切线的斜率便有一个一般的求法了。这个结果不但对于本问题很重要，它简直是微积分的台柱子。

这不但解释了切线的斜率的求法，而且反过来，也就得了导数在数学函数上的抽象的意义。正和我们为了要研究函数的变化，却得到了无限小和它的计算法，以及导数的意义一般。

再结束一下，导数这个宝贝，真是玲珑得可以。你讲运动吧，它就表示这运动的速度；你讲几何吧，它又变成曲线上一点的切线的斜率。你看它多么活泼有趣！

索性再来看它还有些什么把戏可以玩出来。

导数表示运动的速度，所以它就指给我们看那运动有些什么变化。

在图形上，它既表示切线的斜率，又有什么可以指示给我们看的没有呢？

设想有一条曲线，对了，曲线本是一条弯来弯去的线，它在什么地方有怎样的弯法，我们有没有法子可以表明呢？

从图上看吧，在a点附近曲线弯得快些。换句话说，x的距离加得很小，而相应的y的距离却加得较大，这就证明在a点的切线，它的倾斜度来得更陡。

在b点呢，切线的倾斜度就较平了，切线和水平线所成的角也很小，x和y的距离加增的强弱相差也不十分厉害。

至于c点，倾斜度简直成了零，切线和水平线全然平行，x的距离尽管增加，y的却总是老样子，所以这一小段曲线也很平。接着下去，它反而向下弯起来，就是说，x的距离增加，y的反而减小。在这里，倾斜度就改变方向，一直降到d才又回头。从c到d这一段，因为倾斜度掉了方向的缘故，我们就说它是“负的”。

最后，在e点倾斜度成了直角，就是切线变了水平线的垂直线，这小段曲线成了非常地陡，x若只无限小地增加一点的时候，y的值还是一样。

这个例子叫我们知道，对于导数的研究，它有多大，它是正或负，都可以指示出曲线的变化来。这正和用它表示速度时，可以看出运动的变化一般的情形。

你看！导数这么一点小家伙，它的花头有多少！

[7]唯一无二：今作“独一无二”。