现在还是来说关于运动的现象。有一条大路或是一条小槽，在那条路上面有一个轮子正转动着，或是在这小槽里边有一个小球正滚着。倘若我们想找出它们运动的法则，并且要计算出它们在进行中的速度，比前面的还要精密些的方法，究竟有没有呢？

将就以前说过的例子，本来也可以再讨论下去，不过为着简便起见，我们无妨将那个做例子的特别的情形放到一般的情况。用一条线表示路径，用些点来表示在这路上运动的东西。这么一来，我们所要研究的问题，就变成一个点在一条线上的运动的法则和这个点在进行中的速度了。

爽性更简单些，就用一条直线来表示路径：这一条直线从O点起，它无限地向着箭头所指示的方向延长出去。

在这条直线上，依着同一方向，有一点P连续地运动，它运动的起点也就是O。这一个尽管动得不停的P点，我们能够知道它在那直线上的位置吗？是的，只要我们知道在每个时间t，这个动着的P点间隔O点多远，那么，这位置也就能确定了。

和从前的例子一样，连续运动在空间的径路是时间的一个连续函数。

先假定这个函数是已经知道了的，不过这并不能就解决了我们所要讨论的问题。我们还不知道在这运动当中，P点的速度究竟是怎样，也不知道这速度有些什么变化。这样一把你提醒，你将要失望了，将要皱眉头了，是不是？

且慢慢地，你不用着急，我们请出一件法宝来帮助一下，这些问题就迎刃而解了！这是一件什么法宝呢？以后你就可以知道的，先只说它的名字叫着“导数法”。它真是一件法宝，它便是数学园地当中，挂有“微分法”这个匾额的那座亭台的基石。

“运动”本来不过是从时间和空间的关系的变化认识出来的。不是吗？你倘若老是把眼睛闭着，尽管你心里只是不耐烦，觉得时间真难熬，大有度日如年之感，但是一只花蝴蝶在你的面前蹁跹地飞着，上下左右地回旋，你哪会知道它在这么有兴致地动呢？原来，你闭了眼睛，你面前的空间有怎样的变化，你真是茫然了。同样地，倘使空间尽管有变化，但你根本就没有时间的感觉，你也没有法子理解“运动”是怎么一回事！

倘若对于测得的时间t的每一个数，或者说得更好一些，对于时间t的每一个数值，我们都能够计算出距离d的数值来，这就是某种情形当中的时间和空间的关系的变化已经被我们认识出来。那运动的法则，我们也就算得已经知道了！我们就说：

距离是时间的已知函数，简便一些，我们说d是t的已知函数，或者写成d=f（t）。

对于你的小弟弟在大门外地上爬的例子，这公式就变成了d=5t。另外随便举个例子，比如d=3t+5。这，我们就有了两个不相同的运动法则。假如时间用分计算，和距离用尺计算。在第一个式子，时间t若是10分钟，那么距离d就得50尺。但在第二个式子，d=3t+5所表示的运动的法则，10分钟的结末，那距离却是d=3×10+5，便是距出发点35尺。

来说计算速度的话吧！先须得注意，和以前说过的一样，要能计算无限小的变动的速度，换句话说，就是要计算任何刹那的速度。

为了表示一个数值是很小的，小得与众不同，我们就在它的前面写一个希腊字母?（delta），所以?t就是表示一个极小极小的时间间隔。在这个时间当中，一个运动的东西所经过的路程自然很短很短，我们就用?d表示。

现在我问你，那P点在时间?t的间隔中，它的平均速度是什么？你大约没有忘掉吧！运动的平均速度等于用这运动所经过的时间去除它所经过的距离。所以这里，你可以这样回答我：

这个回答一点没有错，虽然现在时间的间隔和空间的距离都是很小很小，但要求这个很小的时间当中，运动的平均速度，还是只有这么一个老法子。

平均速度！平均速度！这平均速度，一开始不是就和它缠个不清吗？不是觉得对于真实的运动情形，它无论怎样总表示不出来吗？那么，我们为什么这里还要说到它呢？不过，这里所说的平均速度，因为时间和空间所取的数值都很小的缘故，很有点用场。要得出真的速度而非平均的，要那运动只是一刹那间的，而非延续在一个时间的间隔当中的，我们只需把?t无限制地减小下去就行了。

我们先记好了前面已经说过的连续函数的性质，因为在一刹那t运动的距离是d，在和t非常相近的时间，我们用t+?t来表示，那么，相应地就有一个距离d+?d和d也就非常相近。并且?t越减小，?d跟着也是越小下来。

结果，v便是在一刹那t，动点的速度。将上面的话联合起来，我们可以写成：

极限值v也有一个不大顺口的名字，叫作“空间d对于时间t的导数”。

有了这个名字，我们说起速度来就便当了。什么是速度？它就是“空间对于一瞬的时间的导数”。

我们又可以回到芝诺的“飞矢不动”的悖论去了。对于他的错误，在这里还能够加以一种说明。芝诺所用来解释他的悖论的方法，无论它怎样地巧妙，但是横在我们眼面前的事实，总叫我们不能相信飞矢是不动的。你总看过变戏法吧？你明知道，那些使你看了吃惊到目瞪口呆的玩意儿都是假的，但你总不能找出它们的漏洞来。我们若没有正确的理由来攻破芝诺的推论，那么，对于他这巧妙的悖论，也只好怀着一个看戏法时所有的吃惊的心情了。

现在，我们再用一种工具来攻打芝诺的推论。

古代的人并不比我们笨，速度的意义他们也懂得的，只可惜他们还有比我们不如的地方，那就是关于无限小的量的观念，他们却一点儿没有。他们以为“无限小”就是等于零，并没有什么特别。因为这个缘故，他们实在吃亏不小，像芝诺那般了不起的人物，在他的推论法中，这个当更特别上得厉害。

不是吗？芝诺他这样说：“在每一刹那，那矢是静止的。”我们无妨自己问问自己看，他的话果真合适吗？在每一刹那，那矢的位置是静止得和一个不动的东西一般的吗？

再举个例子来说，假如有两支同样的矢，其中有一支是用了比别一支快一倍的速度飞动的。在它们正飞着的当儿，照芝诺想来，每一刹那它们都是静止的，而且无论它是飞得快的一支或是慢的一支，两个的“静止情形”也没有一点区别。

在芝诺的脑子里面，快的一支和慢的一支的速度，在无论哪一刹那都是等于零。

但是，我们已经看明白了，想精密地把一个速度规定，必须要采用到些“无限小”的量，以及它们相互的关系。上面已讲起过，这种关系，老老实实地是可以有一个一定的极限的。而这个极限呢，又恰巧可以表出我们所设想的一刹那时间的速度。

所以，在我们的脑子里面，和芝诺就有点两样了！那两支矢在一刹那的时间，它们的速度并不等于零：每支都保持着它的速度，在同一刹那的时间，快的一支的速度总比慢的一支的大一倍。

把芝诺的思想，用了我们的话来说，就可以得到这样一个结论，他推证出来的好像是两个无限小的量，它们的关系是必须等于零的。对于无限小的时间，照他想来那相应的距离总是零，这你会觉得有点可笑了，是不是？但这也不能就怪到芝诺，在他活着的时候，什么极限呀、无限小呀，这些观念都还没有好好儿地规定清楚呢。速度这东西，我们把它当作是距离和时间的一种关系，所以在我们，那飞矢总是动的。说得明白点，就是：在每一刹那它总保牢一个并不等于零的速度。

好了！关于芝诺的话，就此停止吧！我们来说点别的！

你学过初等数学的，是不是？你还没有全都忘掉吧！在这里，就来举一个计算导数的例子怎样？先选一个极简单的运动法则，好，就用你的弟弟在大门外爬的那一个：

d=5t （1）

无论在哪一刹那t1的末了他所爬的距离总是：

d1=5t1 （2）

我们就来计算你的弟弟在地上爬时，这一刹那的速度，就是找空间d对于时间t的导数。设若有一个极小极小的时间间隔?t，就是说刚好接连着t1的一刹那t1+?t，在这时候，那运动着的点，经过了空间?d，它的距离就应当是：

d1+?d=5（t1+?t） （3）

?d=5（t1+?t）-d1 （4）

但是第（2）式告诉我们说d1=5t1，将这个关系代了进去，我们就可以得到：

?d=5（t1+?t）-5t1

化简单了便是：

这个式子表明无论在哪一刹那，速度都是一样的，总归等于5。速度既然保持着一个常数，那么这运动便是匀速的了。

不过，这个例子是非常简单的，所以要找它的结果也非常容易。至于一般的例子，那就往往很麻烦，做起来并不像这般地轻巧。

就实在的情形说，d=5t这个运动的法则，明明指出运动所经的路程（比如用尺做单位）总是五倍于运动所经过的时间（比如用分做单位）。一分钟你的弟弟在地上爬五尺，两分钟他便爬了一丈，所以，他的速度明明白白地总是等于每分钟五尺。

再另外举一个简单的运动法则来做例子，不过它的计算却没有前一个例子那样地简便。假如有一种运动，它的法则是：

e=t2 （1）

依照这个法则，时间用秒做单位，空间用米做单位。那么，在2秒钟的末尾，所经过的空间应当是4米；在3秒钟的末尾，应当是9米；照样推下去，米的数目总是秒数的平方，所以在10秒钟的末尾，所经过的空间便是100米。

还是用空间对于时间的导数来计算这运动的速度吧！

为了要找出导数来，在时间t的任一刹那，设想这时间增加了很小一点?t。在这?t很小的一刹那当中，运动所经的距离e也加上很小的一点?e。从（1）式我们可以得出：

e+?e=（t+?t）2 （2）

现在，我们就可从这个式子先求出?e和时间t的关系了。在（2）式里面，两边都减去e，便得：

?e=（t+?t）2-e

因为e=t2，将这个值代进去：

?e=（t+?t）2-t2 （3）

到了这里，我们须得将式子的右边简化些。这第一步就非将括号去掉不可。朋友！你也许忘掉了吧，我问你，（t+?t）2脱去括号应当等于什么？想不上来吗？我告诉你，它应当是：

t2+2t×?t+（?t）2

所以（3）式又可以照下面的样子写：

?e=t2+2t×?t+（?t）2-t2

式子的右边有两个t2，一个正一个负恰好消去，式子也更简单些：

?e=2t×?t+（?t）2 （4）

现在再把式子右边的两项中分子和分母的公因数?t对消了去，只剩下：

倘若我们所取的?t真是小得难以形容，简直几乎就和零一样，这就可以得出平均速度的极限：

于是，我们就知道在t刹那时，速度v和时间t的关系是：

v=2t

你把这个结果和前一个例子的比较一下，总可以看出它们俩有些不一样吧！最明显的，就是前一个例子的v总是5，和t一点关系没有，这里却不这般地简单，速度总是时间t的两倍。所以恰在第一秒的当儿，速度是2米，但恰在第二秒的一刹那，却是4米了。这样推下去，每一刹那的速度都不同，所以这种运动不是匀速的。