科学上所使用的名词，各自都有它的死板板的定义的，不过只是板了面孔来说，真是太乏味了。什么叫函数，我们且先来举个不大合适的例子。

我想，先把“数”字的意思放宽一些，不必太认真，在这里既不是要算狗肉账，倒也没有什么大妨碍。这么一来，我可以告诉你，现在的社会中，“女子就是男子的函数”。但你不要误会，以为我是在说女子应当是男子的奴隶。奴隶不奴隶，这是另外的问题。我所想说的只是女子的地位是随了男子的地位变的。写到这里，忽然灵机一转，记起了一段笑话，一段戏文上的笑话。有一个穷书生，讨了一个有钱人家的女儿做老婆，因此，平日就以怕老婆出了名。后来，他的运道亨通了，进京朝考，居然一榜及第。他身上披起了蓝衫，许多差人侍候着。回到家里，一心以为这回可以向他的老婆复仇了。哪知老婆见了他，仍然是神气活现的样子。他觉得这未免有些奇怪，便问：“从前我穷，你向着我搭架子，现在我做了官，为什么你还要搭架子呢？”

她的回答很妙：“愧煞你是一个读书人，还做了官，‘水涨船高’你都不晓得吗？”

你懂得“水涨船高”吗？船的位置的高低，就是随了水的涨落变的。用句数学上的话来说，船的地位就是水的涨落的函数。说女子是男子的函数，也就是同样的理由。在家从父，出嫁从夫，夫死从子，这已经有点像函数的样子了。但还嫌粗些，我们无妨再精细一点说。女子一生下地来，父亲是知识阶级，或官僚政客，她就是千金小姐；若是父亲是挑粪、担水的，她就是丫头。这个地位一直到了她嫁人以后才得改变。这时改变也很大，嫁的是大官僚，她便是夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教书匠，她便是师母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是x，她就是y，y总是赶了x变的，自己全作不来主。这种情形和“水涨船高”真是一样，所以我说，女子是男子的函数，y是x的函数。

不过，这只是一个用来作比喻的例子，究竟女子的地位虽然随了她所嫁的男子有什么夫人、太太、师母、老板娘……y的不同，这只是命运，并非这些人彼此之间骨头真有轻重的差别，所以无法用数量来表示。说是函数，终究有些勉强，真要明了函数的意思，我们还是来正正经经地讲别的例子吧！

请你放一支燃着的蜡烛在隔你的嘴一米远的地方，倘若你向着那火焰吹一口气，这口气就会使得那火焰歪开、闪动，说不定因了你的那一口气很大，简直就将它吹熄了。倘若你没有吹熄——就是吹熄了也不打紧，重新点着好了——请你将那支蜡烛放到隔你的嘴三米远的地方，你照样再向着那火焰吹一口气，它虽然也会歪开、闪动，却没有前一次的来得厉害了。你一点不要怕麻烦，这是科学上的所谓实验的态度，无妨向着蜡烛走近去，又退远开来，你吹那火焰，看看它歪开和闪动的情形。你一定不用费什么事，就可以证实你隔那火焰越远，它歪开得越少。在这种情形，我们就说，火焰歪开的程度是蜡烛和嘴的距离的“函数”。

我们还能够决定这个“函数”的性质，我们说这种函数是“减函数”。火焰歪开的程度（函数），当蜡烛和嘴的距离渐渐“加大”的时候，它却逐渐“减小”。

现在，将蜡烛放在一定的地方，你自己也站好不要再走动，这样蜡烛和嘴的距离便是一定的了。你再来吹那火焰，随着你那一口气的强些或弱些，火焰歪开的程度也就大些或小些。这样看来，火焰歪开的程度，也是吹气的强度的函数。不过，这个函数又是另外一种，性质和前面的有点不相同，我们说它是“增函数”。火焰歪开的程度（函数），当吹气的强度渐渐“加大”的时候，它也逐渐“加大”。

所以，一种现象可以不只是一种情景的函数，即如火焰歪开的程度是吹气的强度的增函数，又是蜡烛和嘴的距离的减函数。在这里，我们有几点应当同时注意到：第一，火焰会歪开，是因为你在吹它；第二，歪开的程度有大小，是因为蜡烛和嘴的距离有远近，同着你吹的气有强弱。倘使你不去吹，它自然不会歪开。即或你去吹，蜡烛和嘴的距离，以及你吹的气的强弱，每次都是一样，那么，它的歪开也没有什么变化。所以函数是随了别的数变的，别的数自己也得先会变才行。穷书生不会做官，他的老婆自然也就当不来太太。因为这样，这种自己变的数，我们称它为变量或变数。火焰歪开的程度，我们说它是倚靠着两个变数的一个函数。在平常的事情中，我们也能够找出这类函数来：你用一柄锤去敲钉子，那锤所加到钉子上的力量，就是锤的重量和它敲下去的速度这两个变量的增函数；还有火炉喷出的热力，就是炉孔的面积的减函数，因了炉孔加大，它就渐渐减弱。其他的例子，你只要肯留意，随处都可以碰见。

你会觉得奇怪起来了吧！数学是怎样一种精密、深奥的科学，从这种日常生活的事件当中，凭了一点简单的推理，怎么就能够扯到函数的数学的概念上去呢？怎么由我们的常识的解说，也可发现函数的意义呢？我们再来讲一个比较细密一些的例子。

我们用一个可以测定它的变量的函数来做例子，就可以发现它的数学的意义。在锅里热着一锅子的水，放一只寒暑表在水里面，你注意去观察那寒暑表的水银柱。你守在锅子边，将可以看出那水银柱的高度一直是在变动的，经过的时间越长，它长得越高。水银柱的高度，实在就是那水的温度的函数。这就是说，它是依靠着我们所加到那一定量的水的热量的。所以，倘若测得了所供给的热量，又测得了那水量，你就能够决定出它们的函数，那水银柱的高来。

对于同量的水，加多了热量上去，或是将同量的热加到较少的水量，这时水银柱一定更要长得高些，这高度我们是有法子可以算出的。

由上面的一些例子看来，无论变数也好，函数也好，它们的值都是变动不居的。以后我们所要常讲到的变数中，我们要特别指出一个或几个来，叫它们是“自变量”（或者，为了简单起见，就只叫它变数）。别的呢，就叫它们是“因变量”，或这些变数的函数。

对于变数的每一个数值，它的函数，我们都可以有一个相应的数值的。若是我们知道了变数的数值，就可以决定它的函数的相应的数值时，这个函数，我们就算它是“已知函数”。即如前面的例子当中，倘若我们知道了物理学上所已说明的供给热量到水所起的变化的法则，那么，水银柱的高度就是一个已知函数。

我们再说一个顶简单的例子，还是回到匀速运动上面去。有一个小孩子，每分钟可以爬五尺[5]远，他所爬的距离就是所爬的时间的函数。假如他爬的时间的分数，我们用t来代表，那么他爬的距离便是t的函数。在初等代数上，你已经知道这个距离和时间的关系，可以用下面的式子来表示：d=5t 。

若是照函数的表示法，因为d是t的函数，所以又可以用F（t）来代表d，那就写成：F（t）=5t 。

从这个式子，我们若是知道了t的数值，它的函数F（t）的相应的数值也就可求出来了。比如这个在地上爬的小孩子就是你的小弟弟，他是从你家大门口一直爬出去的，恰好你家的对面十来丈[6]的地方有一条小河。你坐在家里，一个朋友从外面跑了来说是看着你的弟弟从门边向小河正爬了去。他从看着到和你说话的时候正好三分钟。那么，你一点不用慌张，你的小弟弟一定还不会掉到河里。因为你既知道了t的数值是3，那么F（t）相应的数值便是五三一丈五，距那隔你家十来丈远的河还远着呢！

以下常要讲到的函数，我们在这里来说明而且规定它的一个重要性质，这性质，就叫作函数的“连续性”。

在我们上面所举出的函数的一些例子里面，那函数都受着变数的连续的变化的支配，跟着从一个数值变到另一个数值，也是“连续的”。在两头的数值当中，它经过了所有那里面的一切中间数值。比如，水的温度连续地加高起来，水银柱的高，它也连续地从最初的高度，经过所有中间的高度，达到最后的一步。

你试取两桶温度相差不多的水，例如，甲桶的是摄氏30度，乙桶的是摄氏32度，各放一支寒暑表到里面，水银柱的高前者是15厘米，后者是16厘米。这是非常明白的，对于两度温度的差（这是变数），相应的水银柱的高（函数）的差是1厘米。设若你将那桶温度在摄氏32度的乙桶的水凉到摄氏31.6度，那么，这支寒暑表的水银柱的高是15.8厘米，而水银柱的高的差就变成0.8厘米了。

这件事情是很明白的：乙桶水自摄氏32度降到摄氏31.6度，中间所有的温度的差，相应的两支水银柱的高的差，是在1厘米和0.8厘米当中。

这话也可以反过来说，我们能够弄得两支水银柱的高的差（也是随我们要怎样的小都可以的，比如是0.4厘米）相应到某个有定的温度的差（比如0.8度）。但是，如果我们无论怎样弄法，永远不能使那两桶水温度的差小于0.8度，那么两支水银柱的高的差也就永远不会小于0.4厘米了。

最后，若是两桶水的温度相等了，那么，一样地，两支水银柱的高也齐了。假设这温度是摄氏31度，相应的水银柱的高便是15.5厘米。我们必须要把甲桶水加热上去，到摄氏31度，而把乙桶水凉了下来也到摄氏31度，两支寒暑表的水银柱一个是上升，一个却是下降，结果都到15.5厘米的高度。

推到一般的情形去，我们考察一个“连续”函数的时候，就可以证实下面的性质：当变数挨近一个定值的时候，或者说得更好一点，“伸张到”一个定值的时候，那函数也“伸张”，经过一些中间值，“达到”一个相应的值，而且总是达到这个同一的值。不但这样，它要达到这个值，那变数也就必须达到它的相应的值。还有，当变数保守着一定的值时，函数也保守着那相应的一定的值。

这个说法，就是“连续函数”的精密的数学的定义。由物理学的研究，我们证明了这个定义对于物理的函数是恰合的。尤其是运动，它表明了连续函数的性质：运动所经过的空间，它是一个时间的函数，只有冲击和反击的现象是例外。再说回转去，我们由实测上不能得到的运动的连续，我们的直觉却有力量使我们感到它。怎样的光荣呀，我们的直觉！它能结出这般丰盛的果实！

[5]一尺约为0.33米。

[6]一丈约为3.33米。