用数学归纳法，四个公式都证明了，照理我们已可心满意足。但是，仔细一想，这种证明法，巧妙固然巧妙，却有一个大大的困难在里面，这困难并不在从Sn证Sn+1这第二、第三两步，而在第一步发现我们所要假定的Sn的公式的形式。假如别人不曾将这公式提出来，你要从一项、两项、三项、四项……老老实实地相加而发现一般的形式，这虽然不好说不可能，但真是不容易，因此我们再说另外一种找寻这几个公式的方法。

我把这一种方法，叫分项加合法，这是一种知道了一个级数的一般项，而求这级数的n项的和的一般的方法。

什么叫级数，算术级数和几何级数，大概已早在你洞鉴之中了。那么，可以更广泛地说，一串数，依次两个两个地有相同的一定的关系存在，这串数就叫级数。比如算术级数每两项的差是相同的一定的，几何级数每两项的比是相同的一定的。当然在级数中，这两种算是最简单的，其他的都比较复杂，所以每两项的关系也比较不易发现。

四个一般项除了（1）的而外，都可认为是两项以上合成的。在一般项中，设n为1，就得第一项；设n为2，就得第二项；设n为3，就得第三项……设n为什么数，就得第什么项。所以对于一个级数，倘若能够知道它的一般项，我们要求什么项都可以算出来。

为了写起来便当，我们来使用一个记号，例如

Sn=1+2+3+4+…+n

我们就写成∑n，读作Sigman n。∑是一个希腊字母，相当于英文的S。S是英文Sum（和）的第一个字母，所以用∑表示和的意思。而∑n便表示从1起，顺着加2，加3，加4，……一直加到n的和。同样地，

∑n（n+1）=1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）

∑n2=12+22+32+42+…+n2

记好这个符号的用法和上面所说过的各种一般项，就可得出下面的四个式子：

（1）Sn=∑n2=12+22+32+42+…+n2

（2）

（3）Sn=∑n［p+（n-1）］=∑（np+n2-n）=∑np+∑n2-∑n

=（p+2p+3p+…+np）+（12+22+32+…n2）-（1+2+3+…+n）

（4）Sn=∑［a+（n-1）］［b+（n-1）］=∑［ab+（a+b）（n-1）+（n-1）2］

=nab+（a+b）［1+2+…+（n-1）］+［12+22+32+…+（n-1）2］

这样一来，我们可以看得很明白，只要将（1）求出，以下的三个就容易了，（1）的求法运用数学归纳法固然可以，即或不然，也还可照下法计算。

我们知道：

n3=n3，（n-1）3=n3-3n2+3n-1

∴n3-（n-1）3=3n2-3n+1

同样地，

（n-1）3-（n-2）3=3（n-1）2-3（n-1）+1

（n-2）3-（n-3）3=3（n-2）2-3（n-2）+1

…………

33-23=3×32-3×3+1

23-13=3×22-3×2+1

13-03=3×12-3×1+1

若将这n个式子左边和左边加拢，右边和右边加拢，便得

n3=3（12+22+32+…+n2）-3（1+2+3+…+n）+（1+1+…+1）

但12+22+32+…+n2=Sn

这个结果和前面证过的一样，但来路却比较地分明。利用它，（2）（3）（4）便容易得出来。

（2）

（3）

（4）