前一种的证明法，自然比较地来得有根底，不像用数学归纳法那样地突然。但还有一点，不能使我们满意，不是吗？每个式子的分母都是1×2×3，就前面的证明中看来，明明只应当是2×3，为什么要写成1×2×3呢？这一点，若再用别一种方法来寻求这些公式，那就可以恍然了。

这一种方法可以叫它作差级数法。所谓拟形级数，不过是差级数法的特别情形。

怎样叫差级数？算术级数就是差级数中最简单的一种，例如1、3、5、7、9……这是一个算术级数，因为

3-1=5-3=7-5=9-7=……=2

但是，王老头子的汤团的堆法，从顶上一层起，顺次是1、4、9、16、25……各各两项的差是：

4-1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9……

这些差全不相等，所以不能算是算术级数，但是这些差，3、5、7、9……的每两项的差却都是2。

再如第二种三角锥的堆法，从顶上起，各层的个数依次是1、3、6、10、15，各各两项的差是，

3-1=2，6-3=3，10-6=4，15-10=5……

这些差也全不相等，所以不是算术级数，不过它和前一种一样，这些差数依次两个的差是相等的，都是1。

我们来另找个例子，如13、23、33、43、53、63……这些数实行乘出来便是1、8、27、64、125、216……而，

（Ⅰ）

8-1=7，27-8=19，64-27=37，125-64=61，216-125=91……

（Ⅱ）

19-7=12，37-19=18，61-37=24，91-61=30……

（Ⅲ）

18-12=6，24-18=6，30-24=6……

这是到第三次的差才相等的。

再来一个例子，如2、20、90、272、650、1332……

（Ⅰ）

20-2=18，90-20=70，272-90=182，650-272=378，

1332-650=682……

（Ⅱ）

70-18=52，182-70=112，378-182=196，682-378=304……

（Ⅲ）

112-52=60，196-112=84，304-196=108……

（Ⅳ）

84-60=24，108-84=24……

这是到第四次的差才相等的。

像这些例子一般的一串数，照上面的方法一次一次地减下去，终究有一次的差是相等的，这一串数就称它们为差级数，第一次的差相等的叫一次差级数，第二次的差相等的叫二次差级数，第三次的差相等的叫三次差级数，第四次的差相等的叫四次差级数……第r次的差相等的叫r次差级数。算术级数就是一次差级数，王老头子的一盘汤团，各层就成一个二次差级数。

所谓拟形数就是差级数中的特殊的一种，它们相等的差总是1。这是一件很有趣味的东西。法国的大数学家帕斯卡在他1665年发表的《算术三角形》中，就说得有这种级数的作法，他作了如后的一个三角形。

这个三角形仔细玩赏一下，趣味非常丰富。它对于从左上向右下的这条对角线是对称的，所以横着一排一排地看，和竖着一行一行地看，全是一样。

它的作法是：（Ⅰ）横、竖各写同数的1。（Ⅱ）将同行的上一数和同排的左一数相加，便得本数。即

1+1=2，1+2=3，1+3=4，……

2+1=3，3+3=6，……

3+1=4，6+4=10，……

4+1=5，10+5=15，……

5+1=6，15+6=21，……

6+1=7，21+7=28，……

7+1=8，28+8=36，……

8+1=9，……

由这个作法，我们很容易知道它所包含的意味。就竖行说（自然横排也一样），从左起，第一行是相等的差，第二行是一次差级数，每两项的差都是1。第三行是二次差级数，因为第一次的差就是第一行的各数。第四行是三次差级数，因为第一次的差就是第三行的各数，而第二次的差就是第二行的各数。同样地，第五行是四次差级数，第六行是五次差级数……

这种玩意的性质，帕斯卡很有不少的研究，他曾用这个算术三角形讨论组合，又用它发现许多关于概率的有趣味的东西。

上面已经说过了，王老头子的一盘汤团，各层正好成一个二次差级数，倘若我们能够知道计算一般差级数的和的公式，岂不是大大便宜了吗？

对，我们就来讲这个，让我们偷学帕斯卡来作一个一般差级数的三角形。

差，在英文是difference，和用S代Sum一般，如法炮制就用d代difference。本来是已够了，然而我们还可以更别致一些，用个相当于d的希腊字母Δ来代。设差级数的一串数为u1、u2、u3……第一次的差为Δu1、Δu2、Δu3……第二次的差为Δ2u1、Δ2u2、Δ2u3……第三次的差为Δ3u1、Δ3u2、Δ3u3……这样一来，就得下面的三角形。

这个三角形的构成，实际上说，非常简单，下一排的数，总是它上一排的左右两个数的差，即：

Δu1=u2-u1，Δu2=u3-u2，Δu3=u4-u3，……

Δ2u1=Δu2-Δu1，Δ2u2=Δu3-Δu2，Δ2u3=Δu4-Δu3，……

Δ3u1=Δ2u2-Δ2u1，Δ3u2=Δ2u3-Δ2u2，Δ3u3=Δ2u4-Δ2u3，……

加法原可说是减法的还原，因此由上面的关系，便可得出：

u2=u1+Δu1（1）

Δu2=Δu1+Δ2u1，u3=u2+Δu2

∴u3=（u1+Δu1）+（Δu1+Δ2u1）=u1+2Δu1+Δ2u1（2）

照样地，第二排当作第一排，第三排当作第二排，便可得：

Δu3=Δu1+2Δ2u1+Δ3u1

u4=u3+Δu3=（u1+2Δu1+Δ2u1）+（Δu1+2Δ2u1+Δ3u1）

=u1+3Δu1+3Δ2u1+Δ3u1（3）

把（1）（2）（3）三个式子一比较，右边各项的数系数是1，1；1，2，1；1，3，3，1。这恰好相当于二项式a+b=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，各展开式中各项的系数。依了这个事实，照数学归纳法的步骤，我们无妨走进第二步，假定推到一般去，而得出：

照前面的样，把第n+1排作第一排，第n+2排作第二排，便可得：

将这两个式子相加，很巧地就得：

………………………………………………

这不是已将数学归纳法的三步走完了吗？可见得我们假定对于n的公式若是对的，那么，它于n+1也是对的。而事实上它对于1、2、3、4等都是对的，可见得它对于6、7、8……也是对的，所以推到一般都是对的。倘若你还记得我们讲组合——见《棕榄谜》——时所用的符号，那么就可将这公式写得更简明一点：

这个式子所表示的是什么，你可知道？它就是用差级数的第一项和各次差的第一项，表出这差级数的一般项。假如王老头子的那一盘汤团一共堆了十层，因为，这差级数的第一项u1是1，第一次差的第一项Δu1是3，第二次差的第一项Δ2u1是2，第三次以后的Δ3u1，Δ4u1都是0，所以第十层的汤团的个数便是：

这个得数谁也用不到怀疑，王老头子的那盘汤团的第十层，正是每边十个的正方形，一共恰好不折不扣的一百个。

我们要求的原是计算差级数和的公式，现在跑这野马干什么？

别着急！朋友！就来了！再弄一个小小儿的戏法，包管你心满意足。

我们在前面差级数三角形的顶上加一串数v1、v2、v3、…、vn、vn+1，不过并不是胡乱写些数，要它们每两项的差，就是u1、u2、u3、…、un。这样一来，它们便是n+1次差级数，而第一次的差为，

v2-v1=u1，v3-v2=u2，v4-v3=u3，…，vn-vn-1=un-1，vn+1-vn=un

若是我们惠而不费地将vn+1点缀得堂皇富丽些，无妨将它写成下面的样儿，

vn+1=vn+1-vn+vn-vn-1+…+v2-v1+v1

=（vn+1-vn）+（vn-vn-1）+…+（v2-v1）+v1

假使造这串数的时候，取巧一点，v1就用0，那么，便得：

vn+1=（vn+1-vn）+（vn-vn-1）+…+（v2-v1）

=un+un-1+…+u1

所以若用求一般项的公式来找vn+1得出来的便是u1+u2+u3+…+un的和。但就公式说，这个差级数中，v1=0，Δv1=u1，Δ2v1=Δu1，…，Δnv1=Δn-1u1，

这个戏法总算没有变差，由此我们就知道：

假如照用惯了的算术级数的样儿将a代第一项，d代差，并且不用组合所用的符号，那么n次差级数n项的和便是：

有了这公式，我们就回头去处分王老头子的那一盘汤团，它是一个二次差级数，对于这公式说：a=1，d1=3，d2=2，d3=d4=…=0

在第二种三角锥的堆法，前面也已说过，仍是一个二次差级数，对于这公式，a=1，d1=2，d2=1，d3=d4=…=0。

至于第三种堆法，它各层的个数，及各次的差是，

p，2（p+1），3（p+2），4（p+3），……

p+2，p+4，p+6，……

2，2，………………

也是一个二次差级数，u1=p，d1=p+2，d2=2，d3=d4=…=0

末了，再把这个公式运用到第四种堆法。它的每层的个数以及各次的差是这样的：

所以也是一个二次差级数，就公式说，u1=ab，Δu1=（a+b）+1，Δu2=2，Δu3=Δu4=…=0

用差级数的一般的求和的公式，将我们开首就提出的四个公式都证明了。这种证明真可以当得起无疵可指，就是连最后分母中那事实上无关痛痒的1×2×3中的1也给了它一个来去分明。这种证法，不但有这一点点子好处，由上面的经过看来，我们所提出的四个公式，全都是这差级数求和的公式的运用。因此只要我们已彻底地了解了它，这四个公式就不值一顾了，数学的理论的发展，永远是霸道横行，后来居上的。