第一就说数学归纳法的证明。
什么叫数学归纳法,在“堆罗汉”中已经说过,这里要证明的第一个公式,也是那篇里已证明过的。为了不曾看过那篇的人,只好简略地说一说。
所谓数学归纳法,一共含有三个步骤:
(Ⅰ)就几个特殊的数,发现一个共同的式子。
(Ⅱ)假定这式子对于n是对的,而造出一个公式来。
(Ⅲ)设n变成了n+1,看这式子的形式是否改变。若不曾改变,那么,这式子就成立了。
因为由(Ⅱ)和(Ⅲ)既知道这式子关于n是对的,关于n+1也就是对的。而由(Ⅰ)已知它关于几个特殊的数是对的——其实有一个就够了,不过(Ⅰ)只由一个特殊的数要发现较普遍的公式的形式比较困难——设若关于2是对的,那么关于2加1也是对的。2加1是3,关于3是对的,自然关于3加1也是对的。这样一步一步地往上推,关于4加1,5加1,6加1……就无往而不对了。
以下就用这方法来证明上面的公式:
王老头子的汤团的堆法,各层都是正方形,顶上一层是一个,第二层一边是二个,第三层一边是三个,第四层一边是四个……这样到第n层,一边便是n个。而正方形的面积,这是大家都已经知道的,等于一边的长的平方。所以若就各层的个数说,王老头子每夜所做的一盘汤团便是:
Sn=12+22+32+42+…+n2
第一步我们容易知道:
第二步,我们就假定这种式子,关于n是对的,而得公式:
这就到了第三步,这假定的公式对于n+1也对吗?我们在这假定的公式中,两边都加上(n+1)2这便是Sn+1,所以
这最后的形式和我们所假定的公式完全一样,所以我们的假定是对的。
这公式是用于正三角锥形的,所谓正三角锥形,顶上第一层是一个,第二层是一个加二个,第三层是一个加二个加三个,第四层是一个加二个加三个加四个……这样推下去到第n层便是:
1+2+3+4+…+n
而总和便是:
Sn=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+…+(1+2+3+4+…+n)
第一步,我们找出,
第二步,我们就假定这式子关于n是对的,而得公式:
跟着进到第三步,证明这假定的公式对于n+1也是对的,就是在假定的公式中两边都加上1+2+3+4+…+n+(n+1)
这最后的形式,不是和我们所假定的公式的形式一样吗?可见得我们的假定是对的了。
第一步和证明前两个公式的,没有什么两样,我们无妨省事一点,将它略去,只来证明这公式对于n+1也是对的。这种堆法,第一层是p个,第二层是两个p+1个,第三层是三个p+2个……照样推上去,第n层是n个p+(n-1)个。所以,
Sn=p+2(p+1)+3(p+2)+…+n[p+(n-1)]
而Sn+1=p+2(p+1)+3(p+2)+…+(n+1)(p+n)
假定上面的公式关于n是对的,则
不用说,这最后的形式,和我们所假定的公式的,完全一样,我们所假定的公式便是对的。
我们也只来假定它关于n是对的而证明它关于n+1也是对的。这种堆法,顶上第一层是ab个,第二层是(a+1)(b+1)个,第三层是(a+2)(b+2)个……照样推上去,第n层便是[a+(n-1)][b+(n-1)]个。所以:
Sn=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+…+[a+(n-1)][b+(n-1)]
而Sn+1=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+…+[a+(n-1)][b+(n-1)]+(a+n)(b+n)
假定上面的公式对于n是对的,则
在形式上,这最后的结果,和我们所假定的公式的,也没有什么分别,可知我们的假定一点儿不差。