重要概念、定理、公式、结论

1.　级数概念与性质

(1)　定义：∑∞n=1un=limn→∞Sn

(2)　性质

1)　若∑∞n=1un和∑∞n=1vn分别收敛于s,σ，则∑∞n=1（un±vn)收敛于s±σ.

2)　改变级数前有限项不影响级数的敛散性.

3)　收敛级数加括号仍收敛且和不变.

4)　∑∞n=1un收敛

\

limn→∞un=0

2.　判敛准则

(1)　正项级数(∑∞n=1un,un≥0)

基本定理：∑∞n=1un收敛　??　Sn上有界.

1)　比较判别法：设un≤vn,则

∑∞n=1vn收敛　??　∑∞n=1un收敛，∑∞n=1un发散　??　∑∞n=1vn发散.

2)　比较法极限形式：设limn→∞unvn=l(0≤l≤+∞)

①　若01

发散p≤1

2.　比值法：适用于通项中含有an,n!项及n的乘积的情形.

3.　根值法:　适用于通项中含有af(n)的因子的情形.

4.　积分判别法：若f(x)(x0)非负不增，则级数∑∞n=1f(n)与∫+∞1f(x)dx具有相同的敛散性.

如对于级数∑∞n=21nlnn，由于∫+∞21xlnxdx=∫+∞21lnxdlnx=ln(lnx)+∞2发散，故级数发散.

(2)　交错级数(∑∞n=1(-1)n-1un,un0)

莱布尼兹准则:　若：(1)　un单调减;(2)　limn→∞un=0，则∑∞n=1（-1）n-1un收敛.

(3)　任意项级数(∑∞n=1un,un为任意实数)

1)　绝对收敛与条件收敛概念

2)　绝对收敛和条件收敛的基本结论

①　绝对收敛的级数一定收敛,即

∑∞n=1|un|

收敛　??　∑∞n=1un收敛.

②　条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散.

即∑∞n=1un

条件收敛　??　和∑∞n=1un+|un|2和

∑∞n=1un-|un|2发散.

【评注】(1)　级数∑∞n=1un绝对收敛　??　级数∑∞n=1un+|un|2与

∑∞n=1un-|un|2都收敛.

(2)　级数∑∞n=1un条件收敛　??　级数∑∞n=1un+|un|2与

∑∞n=1un-|un|2都发散.

(3)　级数∑∞n=1un+|un|2与

∑∞n=1un-|un|2一个收敛一个发散　??　级数∑∞n=1un发散.

【评注】对交错级数∑∞n=1(-1)nnp，p1，绝对收敛,01,则ρ=limn→∞|un|=∞,

从而∑∞n=1|un|与∑∞n=1un都发散.

(3)　对级数∑∞n=1un,∑∞n=1vn,∑∞n=1(un+vn),若其中有两个收敛,则第三个必收敛;若其中一个收敛,一个发散,则第三个必发散;若其中两个发散,则第三个敛散性不确定;若其中两个绝对收敛,则第三个绝对收敛;若其中一个绝对收敛,一个条件收敛,则第三个条件收敛;若其中两个条件收敛,则第三个收敛,但不能确定是绝对收敛还是条件收敛.

(4)　若∑∞n=1u2n收敛,则∑∞n=1unn绝对收敛;

(5)　若∑∞n=1un收敛,则

1)　∑∞n=1|un|敛散性不定反例，∑∞n=1(-1)n1n收敛，∑∞n=11n发散

2)　∑∞n=1u2n敛散性不定反例，∑∞n=1(-1)n1n收敛，∑∞n=11n发散

3)　∑∞n=1(-1)nun敛散性不定反例，∑∞n=1(-1)n1n收敛，∑∞n=1(-1)n+n1n发散

4)　∑∞n=1(-1)nunn敛散性不定反例，∑∞n=1(-1)n1ln(n+1)收敛，∑∞n=11(n+1)ln(n+1)发散

5)　∑∞n=1u2n(偶数项)，∑∞n=1u2n-1(奇数项)敛散性不定

反例，∑∞n=1(-1)n-11n=1-12+13-14+15-16+…收敛，但其偶数项与奇数项构成的级数均发散

6)　∑∞n=1(u2n-1+u2n)收敛(收敛级数加括号仍收敛)

7)　∑∞n=1(u2n-1-u2n)敛散性不定(奇数项减偶数项)

反例，∑∞n=1(-1)n-11n=1-12+13-14+15-16+…收敛，但其奇数项减偶数项构成的级数为调和级数，是发散的

8)　∑∞n=1(un+un+1)

∑∞n=1(un-un+1)均收敛(两收敛级数的和与差均收敛)

9)　∑∞n=1unun+1敛散性不定

反例，un=(-1)n1n,un+1=(-1)n+11n+1，un·un+1=-1nn+1

∑∞n=1un=∑∞n=1(-1)n1n收敛，但∑∞n=1unun+1=∑∞n=1-1nn+1是发散的

4.　收敛半径;收敛区间;收敛域

定理1(阿贝尔定理)

(1)　若∑∞n=1anxn当x=x0(x0≠0)时收敛，则当|x||x0|时，∑∞n=1anxn发散.

定理2如果limn→∞an+1an=ρ，则R=1ρ.

定理3如果limn→∞n|an|=ρ，则R=1ρ.

5.　幂级数的性质

(1)　四则运算性质:　和,差,积,商.

(2)　分析性质:连续性,可导性,可积性.

6.　几个常见的函数的幂级数展开式

ex=∑∞n=0xnn!,x∈(-∞,+∞)

sinx=∑∞n=0(-1)nx2n+1(2n+1)!,x∈(-∞,+∞)，

cosx=∑∞n=0(-1)nx2n(2n)!,x∈(-∞,+∞)11+x=∑∞n=0(-1)nxn,x∈(-1,1)

ln(1+x)=∑∞n=1(-1)n-1xnn,x∈(-1,1]

(1+x)α=1+∑∞n=1α(α-1)…(α-n+1)n!xn,x∈(-1,1)

7.　简单幂级数的和函数的求法

求简单幂级数的和函数的问题恰好是将简单函数展开成幂级数问题的反面.它较展开问题要难,经常用到下述方法.

1)　拆项，使可套用六个基本展开式.

2)　系数an的分母含有n!的，想到套用ex的展开式；或想到套用sinx与cosx展开式的某种组合.

3)　系数an的分母中含有因子n,n+1,n+2的，采取逐项求导的办法，使级数成为∑xn形状，然后套用第六个基本展开式.以上这些都只是在收敛区间内进行,做完之后,再考虑在端点处

是否成立(若在端点处级数收敛，并且被展开的函数在该端点处连续(左端点处右连续，右端点处左连续)，就说此展开式在端点处成立).

强化突破题型

【题型一】判定级数的敛散性

（一）　给定具体表达式的级数敛散性

【解题提示】

1.　首先考察limn→∞un(若不为零,则级数发散;若等于零,需进一步判定)

2.　若∑∞n=1un为正项级数,则先化简一般项(等价无穷小)再依据特点而定.

(1)　若一般项中含有n!或者n的乘积形式,通常选用比值判别法.

(2)　若一般项中含有以n为指数幂的因式,通常采用根值判别法.

(3)　若一般项中含有形如nα(α为实数)的因式,通常采用比较判别法

(4)　如果以上方法行不通时,则可考虑用敛散的定义判定.

3.　若∑∞n=1un为任意项级数,则可通过确定∑∞n=1|un|的敛散性来确定

(1)　若∑∞n=1|un|收敛,则∑∞n=1un绝对收敛

(2)　若∑∞n=1|un|发散,且发散是由比值判别法或根值判别法得到,则原级数发散.

(3)　若∑∞n=1|un|发散,则看∑∞n=1un是否可写为交错级数并用莱布尼茨准则判断是否条件收敛

（二）　给定抽象表达式的级数敛散性

1.　对于抽象级数,一般用比较判别法,对其通项进行放缩,根据放缩后的收敛性判断.

2.　常用结论1)　limn→∞un存在　??　∑∞n=1(un+1-un)收敛;

2)　若∑∞n=1u2n和∑∞n=1v2n均收敛,则∑∞n=1unvn收敛;

3)　若正项级数∑∞n=1un收敛,则∑∞n=1u2n收敛;

4)　若正项级数∑∞n=1un收敛,则∑∞n=1u2n与∑∞n=1u2n-1都收敛.

【例1】判断下列级数的敛散性

(1)　∑∞n=11-cosπn

(2)　∑∞n=11n-ln1+1n

(3)　∑∞n=1(n+1-n)pln1+1n

(4)　∑∞n=1ann!nn(a0)

(5)　∑∞n=1nan+an(a0)

(6)　∑∞n=1∫1n0x1+x2dx

(7)　∑∞n=1n1n2+1-1

(8)　∑∞n=2(-1)nn-(-1)n

【解析】(1)　由于1-cosπn~12πn2(n→∞),而∑∞n=11n2收敛,所以原级数收敛.

(2)　方法1：由泰勒公式知

ln1+1n=1n-12n2+o1n2

则1n-ln1+1n=12n2-o1n2∶12n2,而∑∞n=112n2收敛,则原级数收敛.

方法2：由不等式x1+x