重要概念、定理、公式、结论

1.　傅里叶系数与傅里叶级数:

f(x)~a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx)

an=1π∫π-πf(x)cosnxdxn=0,1,2…

bn=1π∫π-πf(x)sinnxdxn=1,2…

2.　狄利克雷收敛定理

设

f(x)

在

[-π,π]

上连续或有有限个第一类间断点,且只有有限个极值点,则

f(x)

的傅里叶级数在

[-π,π]

上处处收敛,且收敛于

1)　f(x），当x为f(x)的连续点.

2)　f(x-0)+f(x+0)2,当x为f(x)的间断点.

3)　f(-π+0)+f(π-0)2,当x=±π

3.　周期为2π的函数的展开.

(1)　[-π,π]上展开.

an=1π∫π-πf(x)cosnxdxn=0,1,2…

bn=1π∫π-πf(x)sinnxdxn=1,2…

(2)　[-π,π]上奇偶函数的展开.

1)　f(x)为奇函数.

an=0,bn=2π∫π0f(x)sinnxdxn=1,2…

2)　f(x)为偶函数.

an=2π∫π0f(x)cosnxdxbn=0n=1,2…

(3)　在[0,π]上展为正弦或展为余弦.

1)　展为正弦.

an=0,bn=2π∫π0f(x)sinnxdxn=1,2…

2)　展为余弦.

an=2π∫π0f(x)cosnxdxbn=0n=1,2…

4.　周期为2l的函数的展开.

(1)　[-l,l]上展开.

an=1l∫l-lf(x)cosnπxldxn=0,1,2…

bn=1l∫l-lf(x)sinnπxldxn=1,2…

(2)　[-l,l]上奇偶函数的展开.

1)　f(x)为奇函数.

an=0,bn=2l∫l0f(x)sinnπxldxn=1,2…

2)　f(x)为偶函数.

an=2l∫l0f(x)cosnπxldxbn=0n=1,2…

(3)　在[0,l]上展为正弦或展为余弦.

1)　展为正弦.

an=0,bn=2l∫l0f(x)sinnπxldxn=1,2…

2)　展为余弦.

an=2l∫l0f(x)cosnπxldxbn=0n=0,1,2…

强化突破题型

【题型六】有关狄利克雷收敛定理的问题

【方法点拨】关键是分清x为哪一类点.

【例30】函数f(x)=-1,-π