重要概念、公式与结论
一、切法线方程
1. 切线方程为：y－y０＝f′（x０）（x－x０）．
2. 法线方程为：y－y０＝－１f′（x０）（x－x０）（f′（x）≠０）.
3. 两个曲线的切线方程
(1) 椭圆x2a2+y2b2=1上点(x0，y0)处的切线方程为：x0xa2+y0yb2=1
(2) 双曲线x2a2－y2b2=1上点(x0，y0)处的切线方程为：x0xa2－y0yb2=1
4. 两条曲线相切包含两层含义：
(1) 两条曲线有公共的交点，即切点；
(2) 两条曲线在公共切点处的导数相等，即切线的斜率相等.
二、极值与最值
1. 极值的判定（一个必要条件，三个充分条件）
2. 最值：（1） 求连续函数f(x)在［a，b］上的最值；（2）应用题.
三、曲线的凹向与拐点
1. 凹向：若在区间I上f″(x＞0(＜0)，则曲线y=f(x)在I上是凹（凸）的.
2. 拐点：（一个必要条件，三个充分条件）
四、渐近线(水平，垂直，斜渐近线).
强化突破题型与典型例题
【题型一】求曲线的切、法线方程
核心：求切点的导数.没有切点，找出切点，有了切点，找出导数.
【例1】设函数y=f(x)由方程e2x+y－cos(xy)=e－1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为．
【分析】本题给了切点，所以只需找出斜率（导数），代入公式即可.
【详解】在等式e２x+y－cos（xy）＝e－１两边对x求导，其中y视为x的函数，得e２x＋y（２x＋y）′＋sin（xy）（xy）′＝０，即e２x＋y·（２＋y′）＋sin（xy）·（y＋xy′）＝０，将x＝０，y＝１代入上式，得e·（２＋y′）＝０，即y′（０）＝－２．故所求法线方斜率k＝－１－２＝１２，根据点斜式法线方程为：y－１＝１２x，即y－１＝１２x.
【例2】曲线y＝lnx上与直线x＋y＝１垂直的切线方程为.
【分析】本题未给出切点，可充分利用题设条件与直线垂直的性质，找出切点与斜率.
【解析】方法1：因为直线x+y=1的斜率k１＝－１，所以与其垂直的直线的斜率k２满足k１k2＝－１，所以－k２＝－１，即k２＝１，曲线y＝lnx上与直线x＋y＝１垂直的切线方程的斜率为1，即y′＝（lnx）′＝１x＝１，得x＝１，把x＝１代入y＝lnx，得切点坐标为（１，０），根据点斜式公式得所求切线方程为：y－０＝１·（x－１），即y＝x－１．
方法2：本题也可先设切点为（x０，lnx０），曲线y＝lnx过此切点的导数为y′x＝x０＝１x０＝１得x０＝１，所以切点为（x０，lnx０）＝（１，０），由此可知所求切线方程为y－０＝１·（x－１），即y＝x－１.
【题型二】利用导数研究函数的特性
【方法点拨】
四步，八个字
1) 定域：求函数f(x)的定义域
2) 找点：极值找f′(x)=0的点及和f′(x)不存在的点
拐点找f″（x）＝０的点及f″（x）不存在的连续点；
3) 分段：用2）中求得的点分定义域为若干段子区间
4) 判定：讨论每个子取间内f′(x)和f″（x）的符号，得出结论.
【例3】设函数f(x)在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图所示，则（）．
(A) 函数f(x)有2个极值点，曲线y＝f(x)有2个拐点.
(B) 函数f(x)有2个极值点，曲线y＝f(x)有3个拐点.
(C) 函数f(x)有3个极值点，曲线y＝f(x)有1个拐点.
(D) 函数f(x)有3个极值点，曲线y＝f(x)有2个拐点.
【解析】从图可看出，函数f(x)有3个驻点及1个不可导点，前两个驻点两侧f′（x）符号相反，而后一个驻点及不可导点两侧f′（x）符号相同，故函数f(x)有2个极值点.
函数f(x)有两个二阶导数等于零的点及一个二阶导数不存在的点，在这些的点两侧曲线y＝f′（x）的单调性相反，因而曲线y＝f(x)有3个拐点.应选(B).
【例4】设f(x)有二阶连续导数，且f′（０）＝０，limx→０f″（x）｜x｜＝１.则（）．
（A） f(0)是f(x)的极大值
（B） f(0)是f(x)的极小值
（C） (0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点
（D） f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y＝f(x)的拐点
【解析】由于limx→０f″（x）｜x｜＝１＞０，由极限的保号性知在x＝０的某去心邻域内f″（x）｜x｜＞０，即f″（x）＞０，从而f′（x）单调增，又f′（０）＝０，则在x＝０的左半邻域f′（x）＜０，而在x＝０的右半邻域内f′（x）＞０，故f(x)在x＝０处取极小值，故选（B）.
【例5】设f(x)二阶导数连续，且（x－１）f″（x）－２（x－１）f′（x）＝１－e１－x．
试问（1） 若x＝a（a≠１）是极值点时，是极小值点还时极大值点？
（2） 若x＝１是极值点时，是极大值点还是极小值点?
【解析】（1） 由于x＝a为极值点，则f′（a）＝０，在等式
（x－１）f″（x）－２（x－１）f′（x）＝１－e１－x
中令x＝a得(a-1)f″（a）－２（a－１）f′（a）＝１－e１－a
（a－１）f″（a）＝１－e１－a
f″（a）＝１－e１－aa－１＞０(a≠０)，则f(x)在x＝a取极小值.
（2） 由（x－１）f″（x）－２（x－１）f′（x）＝１－e１－x知
f″（x）－２f′（x）＝１－e１－x１－x
limx→１f″（x）－２limx→１f′（x）＝limx→1１－e１－xx－１＝１
则f″（１）＝１＞０，又f′（１）＝０，故x＝１为f（x）的极小值点.
【例6】曲线y=(x－1)(x－2)2(x－3)3(x－4)4的拐点是（）．
(A) (1，0)(B) (2，0)(C) (3，0)(D) (4，0)
【分析】本题主要考查拐点的概念及其与二阶导数、函数零点和导数零点之间的关系.
【详解】方法1：由于曲线方程y=(x－1)(x－2)2(x－3)3(x－4)4中有(x－3)的3次方因子(x－3)3，则y″(3)=0，y??(3)≠0．
由拐点的充分条件知点(3，0)为该曲线的拐点，应选(C)．
方法2：作为选择题，我们也可给出不严格的定义说明
f(1)+f(2)２＝０，f１＋２２＜０＝f(1)+f(2)２，
f(2)+f(3)２＝０，f２＋３２＜０＝f(2)+f(3)２，
f(3)+f(4)２＝０，f３＋４２＞０＝f(3)+f(4)２，应选(C)．
【评注】方法1用到了一个基本结论：若f(x)=(x－a)ng（x），其中g（x）任意阶可导，g(a)≠0，n为正整数，则f(k)(a)=0，(k=0，1，…，n－1)，f(n)(a)≠0．
方法2在本题当中的说明凹凸性并不严格，我们只是在曲线中找了两个特殊点去判定的，而凹凸性本身是要求曲线上任两点的函数值于其中点函数值做比较的.作为选择题，我们相当于找了特殊值.
【例7】求函数f（x）=∫x21(x2－t)e－t2dt的单调区间与极值．
【分析】本题主要考查定积分的计算和变限定积分的求导法以及求函数的单调区间与极值的一般方法.按照“四步，八个字”原则，思路应该很清晰，关键是求导找点了.
【详细解答】函数的定义域为（－∞，＋∞）
f(x)=∫x21(x2－t)e－t2dt=x2∫x21e－t2dt－∫x21te－t2dt
所以f′(x)=2x∫x21e－t2dt+2x3e－x4－2x3e－x4=2x∫x21e－t2dt
令f′(x)=0，则x=0，x=±1；
因为当x≥1时，f′(x)＞0，0≤x＜1时，f′(x)＜0，
－1≤x＜0时，f′(x)＞0，x＜－1时，f′(x)＜0；
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1)；f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(1，+∞)
所以f(0)=∫01(0－t)e－t2dt=－12e－t210=12(1－e－1)是极大值.f(±1)=0为极小值.
【题型三】求曲线的渐近线
【方法点拨】
1． 先找f(x)无定义的点x０，计算x０点的两个单侧极限，再用定义判断是否有铅直渐近线.
2． 计算limx→＋∞f(x)，或limx→－∞f(x)看极限是否存在判定水平渐近线.
3．若某过程下无水平渐近线，再考虑该过程下的斜渐近线；若某过程下水平渐近线存在，则该过程下的斜渐近线不存在.
【例8】求曲线y=x3x2+x－2渐近线
【详解】法1：函数无定义的点为x=1，x=－2
因为limx→1y=limx→1x3(x－1)(x+2)=∞，所以x=1是曲线y一条铅直渐近线；
limx→－2y=limx→－2x3(x－1)(x+2)=∞，所以x=－2是曲线y一条铅直渐近线
limx→∞y=limx→∞x3(x－1)(x+2)=∞，所以曲线y无水平渐近线；
k=limx→∞y=limx→∞x3x(x2+x－2)=1
b=limx→∞(y－kx)=limx→∞x3x2+x－2－x=limx→∞2x－x2x2+x－2=－1
所以y=x－1是曲线y一条斜渐近线；
法2（分离法）：水平与铅直的求法同上
y=x2－1+1(x－1)(x+2)=(x－1)(1+x+x2)(x－1)(x+2)+1(x－1)(x+2)=1+x+x2x+2+1x2+x－2
=x2+x－2+3x+2+1x2+x－2=x－1+3x+2+1x2+x－2
由于limx→∞3x+2+1x2+x－2=0，所以，y=x－1是曲线y一条斜渐近线；
【例9】求曲线y＝１x＋ln（１＋ex）渐近线的条数为.
【详解】因为limx→０y＝limx→０１x＋ln（１＋ex）＝limx→０１x＋limx→０ln（１＋ex）＝∞，
所以x＝０是一条铅直渐近线；
因为limx→－∞y=limx→－∞1x+ln(1+ex)＝limx→０１x＋limx→０ln（１＋ex）＝０＋０＝０，
所以y＝０是沿x→－∞方向的一条水平渐近线；
令a＝limx→＋∞yx＝limx→＋∞１x＋ln（１＋ex）x＝limx→＋∞１x２＋ln（１＋ex）x
＝limx→＋∞１x２＋limx→＋∞ln（１＋ex）x洛必达法则０＋limx→＋∞ex１＋ex１＝１
令b＝limx→＋∞（y－a·x）＝limx→＋∞１x＋ln（１＋ex）－x
＝limx→＋∞１x＋limx→＋∞（ln（１＋ex）－x）x＝lnex０＋limx→＋∞（ln（１＋ex）－lnex）
＝limx→＋∞ln１＋exex＝limx→＋∞ln（e－x＋１）＝ln1＝０
所以y＝x是曲线的斜渐近线，所以共有3条.
【题型四】方程根的讨论
【方法点拨】
1． 根的存在性：零值定理或罗尔定理
2． 根的唯一性：单调性证明
3． 根的个数：在每个单调区间内用零点定理
【例10】证明方程lnx=xe－∫π01－cos2xdx在区间(0，+∞)内有且仅有两个不同实根.
【解析】方法1：判定方程f(x)=0等价于判定函数y=f(x)与x轴的交点个数.
令f(x)=lnx－xe+∫π01－cos2xdx，
其中∫π01－cos2xdx是定积分，为常数，且被积函数1－cos2x在(0，π)非负，故∫π01－cos2xdx＞0，为简化计算，令∫π01－cos2xdx=k＞0，即f(x)=lnx－xe+k，则其导数f′(x)=1x－1e，令f′(x)=0解得唯一驻点x=e，
即f′(x)＞0，0＜x＜e
f′(x)＜0，e＜x＜+∞，
所以，x=e是最大值点，最大值为f(e)=lne－ee+k=k＞0.
又因为limx→0+f(x)=limx→0+(lnx－xe+k)=－∞
limx→+∞f(x)=limx→+∞(lnx－xe+k)=－∞，
由连续函数的介值定理知在(0，e)与(e，+∞)各有且仅有一个零点(不相同)，
故方程lnx=xe－∫π01－cos2xdx在(0，+∞)有且仅有两个不同实根.
方法2：∫π01－cos2xdx=∫π0sin2xdx，因为当0≤x≤π时，sinx≥0，所以
∫π02sin2xdx=2∫π0sinxdx=2－cosxπ0=22＞0.
其他同方法一.
【例11】求方程karctanx－x＝０不同实根的个数，其中k为参数.
【分析】本题主要考查利用函数单调性、函数极值及函数的零点定理讨论方程根的问题，需对参数k进行讨论.
【详解】方法1：令f(x)＝karctanx－x，则f(x)是（－∞，＋∞）内的奇函数且f（0）＝０，f′（x）＝k－１－x２１＋x２
当k－１≤０时，即k≤１时，f′（x）＜０（x≠０）；f(x)在区间（－∞，＋∞）单调减少，方程f(x)＝０只有一个实根x＝０；
当k－１＞０时，即k＞１时，在区间（０，k－１）内f′（x）＞０，此时f(x)单调增加在区间（k－１，＋∞）内f′（x）＜０，此时f(x)单调减少；
所以f(k－１)是f(x)在（０，＋∞）内的最大值，从而f（k－１）＞f(0)＝０．
又因为limx→＋∞f(x)＝limx→＋∞xkarctanxx－１＝－∞．
所以，由函数的零值定理，??ξ∈（k－１，＋∞）使得f(ξ)＝０，由f(x)是奇函数及单调性可知：当k＞１时，方程f(x)＝０有且仅有三个不同实根x＝－ξ，x＝ξ，x＝０．
方法2：显然x＝０为方程一个实根.
当x≠０时，令f(x)＝xarctanx－k，f′（x）＝arctanx－x１＋x２（arctanx）２
令g(x)＝arctanx－x１＋x２x∈Ｒ
g′（x）＝１１＋x２－１＋x２－x·２x（１＋x２）２＝２x２（１＋x２）２＞０，即x∈Ｒ，g′（x）＞０
∵ g(0)＝０∴ 当x＜０时，g(x)＜g(0)=0，此时f′（x）＜０；
当x＞０时，g(x)＞g(0)＝０，此时f′（x）＞０．
∵ limx→０f(x)＝limx→０xarctanx－k＝１－klimx→∞f(x)＝limx→∞xarctanx－k＝＋∞
∴ 当１－k＜０时，由零点定理可知f(x)在（－∞，０），（０，＋∞）内各有一个零点；
当１－k≥０时，则f(x)在(-∞，０)，（０，＋∞）内均无零点.
∴ 综上所述，当k＞１时，原方程有三个根.
当k≤１时，原方程有一个根.
【评注】本题的难度在于很多考生不知道如何去讨论参数，尤其是第一种解法．
【例12】设当x＞0时，方程kx+1x2=1有且仅有一个解，求k的取值范围.
【分析】方程kx+1x2=1的解即为φ(x)=kx3－x2+1的零点.要证明方程kx+1x2=1有且仅有一个解，只需要证明φ(x)是单调函数，且它的函数图像仅穿过x轴一次就可以了.
【详解】对φ(x)=kx3－x2+1求一阶导数，有φ′(x)=3kx2－2x=x(3kx－2).
当k≤0时，φ′(x)＜0，φ(x)单调减少，φ(0)=1＞0，limx→+∞φ(x)=－∞，φ(x)在x＞0有唯一的零点；
当k＞0时，φ(x)在0，23k单调减少，在23k，+∞单调增加，φ23k=1－427k2，而φ(0)=1＞0，limx→+∞φ(x)=+∞，当且仅当最小值φ23k=0时，φ(x)才在x＞0有唯一零点，这时应该有k=293.
总之，当k≤0或k=293时，原方程有唯一实根.
【题型五】曲率与曲率圆（数学一、二）
1. 曲率计算公式
Ｋ＝｜y″｜（１＋y′２）３２，（y＝f(x)）Ｋ＝｜x′ty″t－y′tx″t｜（x′２t＋y′２t）３２，（x＝x（t）
y＝（t））
2. 曲率半径：R=1K
3. 意义：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一种度量，曲率越大，曲线弯曲程度越大.
特别地：直线的曲率为零.
【例13】曲线y=x2+x，(x＜0)上曲率为22的点的坐标是.
【分析】本题主要考查考生对曲率计算公式的掌握.
【详解】由y=x2+x得y′=2x+1，y″=2利用曲率公式
K=|y″|(1+y′2)32，得2［1+(2x+1)2］32=22，
整理后得x2+x=0故x=0或x=－1.又已知x＜0
所以x=
第六讲多元函数微分学
重要定理、公式与结论
1. 重极限
limx→x0y→y0f(x,y)=A
(x,y)→(x0,y0)是以“任意方式”
2. 连续
limx→x0y→y0f(x,y)=f(x0,y0)
3. 偏导数
fx(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx=ddxf(x,y0)|x=x0
fy(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy=ddyf(x0,y)|y=y0
4. 高阶偏导数
f″xx(x,y)=??2z??x2=????x
??z??x,
f″xy(x,y)=??2z??x??y=????y
??z??x,
f″yx(x,y)=??2z??y??x=????x
??z??y,
f″yy(x,y)=??2z??y2=????y
??z??y.
类似地，????y
??2z??x2=
??3z??x2??y=
f″xy(x,y).
【评注】若
??2z??x??y
和??2z??y??x
都在点(x0,y0)
处连续，则必有
??2z??x??y|(x0,y0)=??2z??y??x|(x0,y0)
5. 全微分
1) 定义:若
Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)=AΔx+BΔy+o(ρ)
2) 判定:
(1) 必要条件:fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在；
(2) 充分条件：fx(x,y)和fy(x,y)在（x0,y0)连续；
(3) 用定义判定:
a) fx(x0,y0)与fy(x0,y0)是否都存在？
b) limΔx→0Δy→0
Δz-[fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy](Δx)2+(Δy)2是否为零?
3) 计算:若
f(x,y)可微,则dz=??f??xdx+??f??ydy
6. 连续、可导、可微的关系
一元函数
二元函数
7. 复合函数求导法
设
u=u(x,y),v=v(x,y)
可导,
z=f(u,v)
在相应点有连续一阶偏导数,则
??z??x=??f??u??u??x+??f??v??v??x
??z??y=??f??u??u??y+??f??v??v??y
8. 全微分形式不变性
设
z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都有连续一阶偏导数.则
dz=??z??xdx+??z??ydy,
dz=??z??udu+??z??vdv
9. 隐函数求导法
1) 由一个方程所确定的隐函数
设
F(x,y,z)
有连续一阶偏导数,
Fz≠0,z=z(x,y)
由F
(x,y,z)=0
所确定.
方法:
(1) 公式:??z??x=-FxFz,??z??y=-FyFz;
(2) 等式两边求导Fx+Fz??z??x=0,Fy+Fz??z??y=0;
(3) 利用微分形式不变性:Fxdx+Fydy+Fzdz=0
2) 由方程组所确定的隐函数(仅数一要求)
设u=u(x,y),v=v(x,y)由
F（x,y,u,v)=0
G(x,y,u,v)=0所确定
方法:
(1) 等式两边求导
Fx+Fu??u??x+Fv??v??x=0
Gx+Gu??u??x+Gv??v??x=0
(2) 微分形式不变性
Fxdx+Fydy+Fudu+Fvdv=0
Gxdx+Gydy+Gudu+Gvdv=0
10. 无条件极值
1) 定义:极大：f(x0,y0)≥f(x,y);极小：f(x0,y0)≥f(x,y);
2) 极值的必要条件f′x(x0,y0)=0,f′y(x0,y0)=0;
极值点驻点
3) 极值的充分条件
设fx(x0,y0)=0，且fy(x0,y0)=0.
(1) 当AC-B20时，有极值A0极小值；
A