考试内容精讲
一、定积分的概念与性质
1. 定义：设函数f(x)在区间[a，b］上有界，定积分∫baf(x)dx=limλ→0∑ni=1f(ξi)Δxi.
2. 可积的条件
1) 必要条件：f(x)在区间[a，b］上有界
2) 充分条件：f(x)在区间[a，b］连续或仅有有限个第一类间断点；
【评注】几个关系
(1) ★★★
(2) 一个函数有无原函数(不定积分)，
看五类间断点若连续，必有原函数；
若有第一类间断点，一定无原函数；
若有第二类间断点，可能有原函数.
一个函数有无定积分，看
上表中左边两个框.若连续，定积分存在；
若有界，且有有限个第一类间断点，存在.
(3) f(x)在I上连续→F(x)=∫xaf(t)dt在I上可导；
f(x)在I上可积→F(x)=∫xaf(t)dt在I上连续.(z字形法则)
举例：1） f(x)=2，1＜x≤2
1，0≤x≤1
当0≤x≤1时，∫x0f(t)dt=x
当1＜x≤2时，∫x0f(t)dt=∫10f(t)dt+∫x1f(t)dt=1+2(x－1)=2x－1
此例说明：f(x)不连续，但可积，原函数不存在
2） F(x)=x2sin1x,x≠0
0,x=0，则F′(x)=f(x)=2xsin1x－cos1x,x≠0
0,x=0.
此例说明：f(x)不连续，但有原函数，在［0，1］上不可积(因为f(x)在(0，1)上无界)
二、几个特殊函数的积分
1． 有关奇偶函数定积分性质
设a＞0.若f(x)在[－a，a］上连续，则有
∫a－af(x)dx=∫a0［f(x)+f(－x)］dx=0，f(x)为奇函数，
2∫a0f(x)dx，f(x)为偶函数，
【评注】若被积函数为非奇非偶函数，则可以利用定积分的可加性，以x=0为分界点，分成两个定积分，再对其中一个积分作负代换x=－t，通常即可达到化简的目的.
2． 周期函数的积分性质
若f(x)在(－∞，+∞)上连续且以T为周期，则有
1) ∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx2) ∫a+nTaf(x)dx=n∫T0f(x)dx
3． 定积分的几何意义
∫a0a2－x2dx=14πa2∫102x－x2dx=π4
4. 常用公式
(1) 华里士公式
（1） In=∫π20sinnxdx=∫π20cosnxdx=(n－1)!!n!!π2，n为偶数，
(n－1)!!n!!，n为奇数.
(2) ∫π0xf(sinx)dx=π2∫π0f(sinx)dx∫π0f(sinx)dx=2∫π20f(sinx)dx
(3) ∫2π0sinnxdx=2∫π0cosnxdx=4∫π0cosnxdx，n为偶数
0，n为奇数
(4) ∫+∞0xne－xdx=n!
三、变限积分函数导数
1. 变限积分：称Φ(x)=∫xaf(t)dt为f(x)在［a，b］上的变上限积分.
1) 连续性：设f(x)在［a，b］上可积，则∫xaf(t)dt在［a，b］上连续
2) 奇偶性：i) 若f(x)为奇函数，则∫x0f(t)dt为偶函数
ii) 若f(x)为偶函数，则∫x0f(t)dt为奇函数
3) 可导性：设f(x)在［a，b］上连续，则∫xaf(t)dt在［a，b］上可导且
Ｆ′（x）＝ddx∫xaf(t)dt＝f(x)（x∈［a,b］）.
【评注】(1) 被积函数中若含有参数，一定要将参数换到积分限上，或移到积分号外.
(2) 若函数f(x)在［a，b］上连续，则Φ(x)=∫xaf(t)dt是f(x)在［a，b］上的一个原函数.
【题眼】看到变限积分：① 就求导；② 代入上下限的值（其中Ｆ（a）＝０）；③ 必连续
【评注】(1) Ｆ（x）＝∫φ（x）ψ（x）f(t)dt ?? Ｆ′（x）＝f（φ（x））·φ′（x）－f（ψ（x））·ψ′（x）
推广：Ｆ（x）＝∫xaf(t)dt ?? Ｆ′（x）＝f(x)
（2） 换元：Ｆ（x）＝∫x０f(x-t)dtx-t=u∫０xf(u)d(-u)=∫x０f(u)du
?? Ｆ′（x）＝f(x)
（3） 拆分，Ｆ（x）＝∫x０（x-t）f(t)dt
＝∫x０xf(t)dt－∫x０tf(t)dt＝x∫x０f(t)dt－∫x０tf(t)dt
则Ｆ′（x）＝∫x０f(t)dt＋xf（x）－xf(x)＝∫x０f(t)dt
F″（x）＝f(x)
【评注】具体实例见基础篇.
强化突破题型与典型例题
【题型七】定积分的概念与性质
【方法总结】
(1) 定积分的概念：定积分是一个极限，是一个数值
(2) 定积分的大小比较：
1) 利用变量代换，将所给定积分的积分限换成一致
2) 比较被积函数大小
【例18】设f(x)=x1+cos2x+∫π0f(x)sinxdx，求f(x).
【解析】由于定积分的本质是一个数，故可设∫π0f(x)sinxdx=A
等式两边同时乘以sinx，然后同时从0到π积分得
∫π0f(x)sinxdx=∫π0xsinx1+cos2xdx+2∫π0f(x)sinxdx
则A=－∫π0xsinx1+cos2xdxx=π－t－π2∫π0sinx1+cos2xdx=－π24
【例19】设f(x)为连续函数，a为常数，则下列为奇函数的是（）.
(A) ∫xa［∫u0tf(t2)dt］du(B) ∫x0［∫uaf(t3)dt］du
(C) ∫x0［∫uatf(t2)dt］du(D) ∫xa［∫u0(f(t))2dt］du
【解析】因为tf(t2)为奇函数，所以∫uatf(t2)dt为偶函数
所以∫x0(∫uatf(t2)dt)du为奇函数，故选（C）
对于（B）选项，f(t3)不一定为奇函数.（A）(D)选项只要a≠0，则不为奇函数.
【例20】使不等式∫x1sinttdt＞lnx成立的x的范围是（）．
(A) (0，1)(B) 1，π2(C) π2，π(D) (π，+∞)
【解析】本题主要考查定积分的比较性质，可考虑将等式右边化为与左边积分区间一致的积分，再比较.
原问题可转化为求f(x)=∫x1sinttdt－lnx＞0成立时x的取值范围.
f(x)=∫x1sinttdt－lnx=∫x1sinttdt－∫x11tdt
=∫x1sint－1tdt=∫1x1－sinttdt＞0.
由t∈(0，1)时，1－sintt＞0，知当x∈(0，1)时，f(x)＞0.故应选(A).
【题型八】利用几何意义解定积分
【方法总结】熟练掌握以下公式的几何意义：
(1) ∫a0a2－x2dx=14πa2，(2) ∫a－aa2－x2dx=12πa2，(3) ∫0－aa2－x2dx=14πa2，(4) ∫2a02ax－x2dx=12πa2，(5)∫a02ax－x2dx=14πa2
【例21】设a＞0，则I=∫a－aa2－x2lnx+1+x23dx
【解析】原式=∫a－aa2－x2(ln(x+1+x2)－ln3)dx
=－ln3∫a－aa2－x2dx（ln(x+1+x2)为奇函数）
=－πa2ln3
【例22】若f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m＞0，且f″(x)＞0，g″(x)＜0，
则I1=∫21f(x)dx，I2=∫21g(x)dx，I3=∫21(mx－m)dx的大小关系为
【解析】由题意画出y=f(x)，y=g(x)，y=m(x－1)的图像(略)
则由定积分几何意义可知I1＜I3＜I2
【题型九】关于几个公式的应用
【评注】参见几个特殊类型函数的第四条
【例23】计算I=∫10x41+x1－xdx
【解析】原式=∫10x41+x1－x2dxx=sinx∫π20sin4t1+sintcost·costdx
=∫π20sin4tdt+∫π20sin5tdt=34·12·π2+45·23
=3π16+815
【例24】计算I=∫10xln2xdx
【解析】原式lnx=t∫0－∞e2tt2dt2t=－x∫0+∞e－x14x2－12dx
=18∫+∞0x2e－xdx=14
(注：用了公式∫+∞0xne－xdx=n!)
【例25】计算I=∫10(2x－x2－(1－x2)3)dx
【解析】原式=∫102x－x2dx－∫10(1－x2)3dx
其中∫102x－x2dx=14π
∫10(1－x2)3dxx=sint∫π20cos4tdt=316π=116π
【例26】对于??x，y，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，求定积分∫a－a［f(x)ex＋f（x）e－x］dx＝．
【解析】令x＝y＝０ ?? f(0)＝０
令y＝－x，则f(-x)+f(x)=0 ?? f(x)为奇函数，而y=ex+e－x为偶函数
故该积分被积函数为奇函数，根据定积分的“偶倍奇零”，可知原式＝０
【例27】求（1） ∫π2－π2(x3+sin2x)cos2xdx；（2） ∫π0xsin6xdx.
【解析】（1） 原式=∫π2－π2x3cos2xdx+∫π2－π2sin2xcos2xdx
=∫π20sin2xcos2xdx=14∫π20sin22xdx2x=t14∫π0sin2t·12dt
=18·2∫π20sin2tdt=14·12·π2=π16
(2) 原式=π2∫π0sin6xdx=π2·2·∫π20sin6xdx=π·56·34·12·π2=1596π2
【题型十】利用积分技巧计算三角函数定积分
(周期性，奇偶性，三角函数性质)
方法：变量代换使“区间再现”：若积分区间为［a,b］，则令t=a+b-x
特殊地：若积分区间为[0,π]，则令t=π－x，若积分区间为０，π２，则令t＝π２－x
若积分区间为０，π４，则令t＝π４－x，若积分区间为［－l，l］，则令t＝－x．
【例28】求下列定积分
(1) ∫π20sinnxsinnx+cosnxdx；(2) ∫π20sinxsinx+cosxdx；(3) ∫π2011+tan2xdx；
(4) ∫π20lnsinxdx；(5) ∫π20sin10x－cos10x4－sinx－cosxdx.
【解析】(1) 原式=∫π20sinnxsinnx+cosnxdx=x=π2－t∫π20cosnxsinnx+cosnxdx
=12∫π20sinnx+cosnxsinnx+cosnxdx=π4
(2) 原式=∫π20sinxsinx+cosxdxx=π2－t∫π20cosxsinx+cosxdx
=12∫π20sinx+cosxsinx+cosxdx=π4
(3) 原式＝∫π2011+tan2xdxx=π2－t∫π2011+cot2xdx
=∫π2011+1tan2xdx=∫π20tan2xtan2x+1dx
＝１２∫π２０１＋tan２xtan２x＋１dx＝π５
(4) 原式＝∫π20lnsinxdxx=π2－t∫π20lncosxdx=12∫π20(lnsinx+lncosx)dx
=12∫π20ln12sin2xdx=－π4ln2+12∫π20lnsin2xdx
2x=t－π4ln2+14∫π0lnsintdt=－π4ln2+14∫π20lnsintdt+14∫ππ2lnsintdt
x=π－t－π4ln2+14∫π20lnsinxdx+14∫π20lnsinxdx
=－π4ln2+12∫π20lnsinxdx=－π2ln2
(5) 原式=∫π20sin10x－cos10x4－sinx－cosxdxx=π2－t=∫π20cos10x－sin10x4－cosx－sinxdx
=12∫π20sin10x－cos10x+cos10x－sin10x4－cosx－sinxdx=0
【例29】设f(x)、g(x)在区间[－a，a](a＞０)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)＝Ａ(Ａ为常数).
(1) 证明∫a－af(x)g(x)dx＝Ａ∫a０g(x)dx；
(2) 利用(1)的结论计算定积分∫π２－π２｜sinx｜arctanexdx．
【解析】(1) 由要证的结论可知，应将左端积分化成［０，a］上的积分，即
∫a－af(x)g(x)dx＝∫０－af（x）g(x)dx＋∫a０f(x)g(x)dx，
再将∫０－af(x)g(x)dx作适当的变量代换化为在[0,a]上的定积分.
方法1：由于∫a－af(x)g(x)dx＝∫０－af(x)g(x)dx+∫a０f(x)g(x)dx，
在∫０－af(x)g(x)dx中令x＝－t，则由x：－a→０，得t：a→０，且
∫０－af(x)g(x)dx＝∫０af(-t)g(-t)d(-t)=∫a0f(-t)g(t)dt＝∫a０f(－x)g(x)dx，
所以∫a－af(x)g(x)dx＝∫a０［f(x)+f(-x)］g(x)dx＝Ａ∫a０g(x)dx．
方法2：在∫a－af(x)g(x)dx中令x＝－t，则由x：－a→a，得t：a→－a，且
∫a－af(x)g(x)dx＝∫a－af(-t)g(-t)d(-t)∫a－af(-t)g(t)d(t)＝∫a－af(-x)g(x)dx
所以∫a－af(x)g(x)dx=１２∫a－af(x)g(x)dx＋∫a－af(-x)g(x)dx
＝１２∫a－a［f(x)+f(-x)］g(x)dx=Ａ２∫a－ag（x）dx
＝Ａ∫a０g(x)dx．
(2) 令f(x)＝arctanex，g(x)=｜sinx｜，可以验证f(x)和g(x)符合(1)中条件，从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.
方法1：取f(x)＝arctanex，g(x)＝｜sinx｜，a＝π２．
由于f(x)＋f(-x)＝arctanex＋arctane－x满足
（arctanex＋arctane－x）′＝ex１＋e２x＋－e－x１＋e－２x＝０，
故arctanex＋arctane－x＝Ａ．
令x＝０，得２arctan１＝Ａ ?? Ａ＝π２，即f(x)+f(-x)＝π２.于是有
∫π２－π２｜sinx｜arctanexdx＝π２∫π２０｜sinx｜dx＝π２∫π２０sinxdx＝π２.
方法2：取f(x)=arctanex，g(x)＝｜sinx｜，a＝π２，于是
f(x)+f(-x)=arctanex＋arctan１ex＝π２.
(这里利用了对任何x＞０，有arctanx＋arctan１x＝π２)
以下同方法一.
【例30】计算下列定积分
（1） ∫1－1x21+e－xdx；（2） ∫π4－π4x1+sinxdx；（3） ∫π2－π2x2ln(x+1+x2)+sin4x1+e－2xdx
（4） ∫π2－π2sin4x1+exdx；(5) ∫1－1xln(1+ex)dx；(6) ∫1－1dx1+e1x.
【解析】(1) 原式＝∫1－1x21+e－xdx=∫10x21+e－x+x21+exdx
=∫10exx2ex+1+x21+exdx=∫10x2dx=13x310=13
(2) 原式＝∫π4－π4x1+sinxdx=∫π40x1+sinx－x1－sinxdx=∫π40－2xsinxcos2xdx
=∫π402xcos2xdcosx=－∫π402xd1cosx=－2xcosxπ40+2∫π401cosxdx
=－π2+2ln|secx+tanx|π40=－2π2+2ln(2+1)
(3) 原式=∫π20sin4x1+e－2x+sin4x1+e2xdx=∫π20e2xsin4xe2x+1+sin4x1+e2xdx
=∫π20sin4xdx=34·12·π2=3π16
(4) 原式=∫π20sin4x1+ex+sin4x1+e－xdx=∫π20sin4x1+ex+exsin4xex+1dx=∫π20sin4xdx=3π16
(5) 原式=∫10(xln(1+ex)－xln(1+e－x))dx=∫10xln1+ex1+e－xdx
=∫10xlnex(1+ex)ex+1dx=∫10x2dx=13
(6) 原式=∫1011+e1x+11+e－1xdx=∫1011+e1x+e1xe1x+1dx=1
【注】本例的本质均是将对称区间(－a，a)的定积分拆成(－a，0)与(0，a)上的定积分和，然后对(－a，0)上的定积分作负代换令x=－t，再利用积分与用什么字母表示无关得到的快速解法.
【题型十一】变限积分
【方法总结】
变限积分问题是考研重点，处理方法：将积分限中的
字母从被积函
数中处理掉
∫xaf(x－t)dt令x－t=u
∫xa(x－t)f(t)dt拆开
遇到变限积分就求导(注意复合函数求导)
把握一个原则：把变限积分化为变上限积分(即下限为常数，上限为x)
变限积分一般结合以下方面考察
1． 求极限(一般为00，用洛必达，上下求导)(例题见极限部分)；
2． 求导数(注意上限是函数，此时就是复合函数求导)
3． 计算定积分(结合分部积分求解)
4． 与几何问题(面积，体积)、微分方程结合考察.
5． 被积函数中含有变限积分的积分用分部积分法，将变限积分看成u(x)，其余部分看成v′(x)dx
将积分化为二重积分，交换积分次序后再计算二重积分
【注】① 被积函数中含导数的积分：导数后提，分部积分.
② 被积函数中含变限积分的积分：分部积分
转化为二重积分
【例31】已知f(x)在x=1的某邻域内连续，且limx→0f(x)x－1=1，求
limx→0∫sin2x0etf(1+esin2x－et)dtx2lncosx.
【解析】由limx→1f(x)x－1=1 ?? f(1)=0
f′(1)=1
原式=limx→0－∫sin2x0f(1+esin2x－et)d(－et)x2(－12x2)
1+esin2x－et=u2limx→0∫1esin2xf(u)dux4=－2limx→0∫esin2x1f(u)dux4
=－2limx→0f(esin2x)esin2x·sin2x4x3=－limx→0f(esin2x)x2
=－limx→0f(esin2x)－f(1)esin2x－1·esin2x－1x2=－f′(0)=－1
【例32】设D：x2+y2≤t2(t＞0)，f(x)连续，且limx→0f(x)x=1，求
limt→0??df(t－x2+y2)dxdyt－arctant.
【解析】由limx→0f(x)x=1 ?? f(0)=0
f′(0)=1
由二重积分极坐标可知，??df(t－x2+y2)dσ=∫2π0dθ∫t0f(t－r)rdr=2π∫t0f(t－r)rdrt－r=u2π∫t0f(u)(t－u)du=2πt∫t0f(u)du－2π∫t0uf(u)du，
所以原式=limt→02πt∫t0f(u)du－2π∫t0uf(u)du13t3
=limt→0∫t0f(u)du3t2=6πlimt→0f(t)6t
=πlimt→0f(t)t=πf′(0)=π×1=π
【例33】(1) 设f(x)=∫x1e－t2dt，求∫10x2f(x)dx.
(2) 设∫π0f(x)dx，求f(x)=∫x0sintπ－tdt
(3) 设f(x)=∫2x－1ey2dy，求∫31f(x)dx.
(4) 设G′(x)=arcsin(x－1)2，G(0)=0，求∫10G(x)dx.
(5) 已知f(x)=∫x1dt1+t4，计算∫10x2f(x)dx.
(6) 求∫10f(x)xdx，其中f(x)=∫x1ln(1+t)tdt.
【解析】(1) 方法1：(分部积分法)
因为f(1)=0，f′（x）=e－x2
所以∫10x2f(x)dx=13∫10f(x)dx3=13x3f(x)10－∫10x3f′(x)dx=－∫10x3e－x2dx
=－16∫10x2e－x2dx2x2=t－16∫10te－tdt=16(2e－1－1)
方法2：(二重积分法)
∫10x2f(x)dx=∫10x2∫x1e－t2dtdx=∫10∫x1x2e－y2dydx=－∫10∫y0x2e－y2dxdy
(交换积分次序)
=－13∫10x3e－x2dx=16(2e－1－1)
(2) ∫π0f(x)d(x－π)=f(x)(x－π)π0－∫π0f′(x)(x－π)dx
=∫π0sinxx－π(x－π)dx=∫π0sinxdx=2
(3) ∫31f(x)dx=∫31f(x)d(x－1)=(x－1)f(x)31－∫31(x－1)f′(x)dx
=－∫31(x－1)(－e(x－1)2)dx=∫31(x－1)e(x－1)2d(x－1)x－1=t∫20tet2dt
=∫31(x－1)e(x－1)2d=12tet220=12(e4－1)
(4) ∫10G(x)dx=∫10G(x)d(x－1)=(x－1)G（x）10－∫10G′(x)(x－1)dx
=－∫10(x－1)arcsin(x－1)2d(x－1)
x－1=t －∫0－1tarcsint2dt=－12∫0－1arcsint2dt2
=12∫10arcsinxdx=π+24
(5) ∫10x2f(x)dx=13∫10f(x)dx3=13x3f(x)10－∫10x3f′(x)dx
=－13∫10x311+x4dx=－112∫1011+x4d(x4+1)
=－161+x410=16(1－2)
(6) ∫10f(x)xdx=2∫10f(x)dx=2xf(x)10－2∫10xf′(x)dx
=－2∫10xln(1+x)xdx=－2∫10ln(1+x)xdx
=－4∫10ln(1+x)dx=－4ln2+4∫10x1+xdx
x=t －4ln2+8∫10t21+t2dt=－4ln2+8－2π
【题型十二】几种需分子区间积分的定积分
（一） 分段函数的定积分
【方法点拨】
1） 利用积分区间内的分段点将积分区间划分，利用定积分的区间可加性把定积分表示成几个分段区间上的定积分的和
2） 求各个分段区间的定积分
（二） 带绝对值函数或隐含分段函数的定积分
【方法点拨】
核心是去绝对值符号
步骤：1） 令绝对值内式子等于零，求出在积分区间内的根，有时也可以通过周期性、奇偶性直接去掉绝对值.
2） 用上述所求的根将积分区间化成若干子区间，把所求积分表示成若干子区间的定积分的和.
3） 对各个分段区间上的积分，被积函数中的绝对值就可以去掉了.
【注】其他如max，min，sgn，[·］等均须设法把相应的符号去掉，使之在每一分段区间为一个初等函数，再积分后相加.
【例34】设f(x)＝１１＋exx＜０
１１＋xx≥０计算I＝∫３１f(x－２)dx
【详解】令x－２＝t，则
I＝∫３１f(x-2)dx＝∫１－１f(t)dt＝∫０－１dt１＋et＋∫１０dt１＋t
=∫０－１e－t１＋e－tdt＋ln（１＋t）１０＝－ln（１＋e－t）０－１＋ln２＝ln（１＋e）．
【例35】计算I=∫10[ex］dx，其中[·］为取整函数
【解析】由于[ex］=1，x∈[0，ln2)
2，x∈[ln2，1］
故I=∫ln201dx+∫1ln22dx=2－ln2
【例36】设|y|≤1，求∫1－1|x－y|exdx.
【分析】由于被积函数含有绝对值，故应设法去掉绝对值符号，此题的积分变量是x，故应将y看成参数，考虑x，y的大小，故将积分区间从y断开，从而去掉绝对值符号.
【详解】∫1－1|x－y|exdx=∫y－1(y－x)exdx+∫1y(x－y)exdx
=y∫y－1exdx－∫y－1xexdx+∫1yxexdx－y∫1yexdx
=yey－ye－1－yey+ey－2e－1+ey－yey－ey+yey
=2ey－2e－1－ye－1－ey.
【例37】设函数f(x)=∫10|t2－x2|dt(x＞0)，求f′(x)，并求f(x)的最小值.
【分析】这是一个含参变量x的积分，此题与上例的不同之处在于，上题参数y已给出范围，直接分段即可，本题未给出参数x的范围，故应先对x的取值讨论，进而求出f(x).
【解析】f(x)=∫10|t2－x2|dt=∫x0(x2－t2)dt+∫1x(t2－x2)dt，0＜x＜1，
∫10(x2－t2)dt，x≥1.
=43x3－x2+13，0＜x＜1，
x2－13，x≥1.
当x≠1时，f′(x)=4x2－2x，0＜x＜1，
2x，x＞1.
当x=1时，f′－(1)=limx→1－43x3－x2+13－23x－1=limx→1－4x2－2x1=2，
f′+(1)=limx→1－x2－13－23x－1=2，
故f′(x)=4x2－2x，0＜x＜1，
2x，x≥1.
由f′(x)=0，得x=12.当0＜x＜12时，f′(x)＜0；当x＞12时，f′(x)＞0.
所以，当x=12时，f(x)取最小值f12=14.
【题型十三】反常积分的计算
【方法点拨】
定积分+求极限
【注】1） 某些反常积分经变量代换后可能变成定积分.
2） 收敛的反常积分具有定积分类似的奇偶对称性.
【例38】∫＋∞２dx（x＋７）x－２＝．
【解析】由于被积函数在x＝２处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.
作积分变量替换，令x－２＝t，x－２＝t２dx＋２tdt，
∫＋∞２dx（x＋７）x－２＝∫＋∞０２t（t２＋９）tdt＝２·１３arctant３＋∞０＝２３·π２＝π３．
【例39】已知∫＋∞－∞ek｜x｜dx＝１，则k＝．
【解析】由题设知反常积分收敛，故也可利用奇偶对称性简化计算
∫＋∞－∞ek|x|dx＝２∫＋∞０ekxdx＝２limb→＋∞∫b０ekxdx
＝２limb→＋∞１kekxb０＝２limb→＋∞１kekb－２k＝１，
因为极限存在，所以k＜０.因此，２limb→＋∞１kekb－２k＝－２k＝１ ?? k＝－２
【题型十四】反常积分敛散的判定
【方法点拨】
1. 通过计算判定：定积分+求极限
2. 比较判别法：若是无穷区间反常积分，找通项的等价无穷小，若是无界函数的反常积分，找通项的等价无穷大.
【注】常见反常积分的敛散
1） ∫＋∞a１xpdx＝收敛，p＞１
发散，p≤１；（a＞１）或∫＋∞a１xlnpxdx＝收敛，p＞１
发散，p≤１；（a＞１）
2） ∫＋∞aＱm（x）Ｐn（x）dx＝收敛，n－m＞１，
发散，n－m≤１．n，m分别代表Ｐn（x），Ｑm（x）的最高次幂
3) ∫ba１（x－a）pdx＝收敛，p＜１，
发散，p≥１．或∫ba１（b-x）pdx＝收敛，p＜１，
发散，p≥１．
3. 其他判别法
1） 设limx→＋∞xkf（x）＝Ｍ，则当k＞１时∫＋∞af(x)dx收敛，k≤１时∫＋∞af(x)发散
2) 设limx→－∞xkf(x)＝Ｍ，则当k＞１时∫b－∞f(x)dx收敛，k≤１时∫b－∞f(x)dx发散
3) 设limx→a＋（x－a）kf(x)＝Ｍ，则当k＜１时∫baf(x)dx收敛，k≥１时∫baf(x)dx发散
4） 设limx→b－（b－x）kf(x)＝Ｍ，则当k＜１时∫baf(x)dx收敛，k≥１时∫baf(x)dx发散
【例40】反常积分① ∫０－∞１x２e１xdx，② ∫＋∞０１x２e１xdx的敛散性为（）.
(A) ① 收敛，② 收敛(B) ① 收敛，② 发散.
(C) ① 发散，② 收敛(D) ① 发散，② 发散.
【解析】∫０－∞１x２e１xdx＝－∫０－∞e１xd１x＝－e１x０－∞＝１，① 收敛；
∫＋∞０１x２e１xdx＝－∫＋∞０e１xd１x＝－e１x＋∞０＝＋∞，② 发散.应选(B).
【评注】严格意义上说，应该拆分为类似∫０－∞１x２e１xdx＝∫－１－∞１x２e１xdx＋∫０－１１x２e１xdx．
【例41】设函数f（x）＝１（x－１）α－１，１＜x＜e，
１xlnα＋１x，x≥e，若反常积分∫＋∞１f(x)dx收敛，则（）.
(A) α＜－２(B) α＞２(C) －２＜α＜０(D) 0＜α＜２
【分析】此题为分段函数的反常积分，应分段计算再求和.
【解析】∫＋∞１f(x)dx＝∫e１＝１（x－１）α－１dx＋∫＋∞e１xlnα＋１xdx，因为反常积分∫＋∞１f(x)dx收敛，当且仅当上式右边两个反常积分(一个无界，一个无穷限)都收敛，所以α－１＜１，且α＋１＞１，即０＜α＜２，选(D).
【例42】若反常积分∫＋∞０１xα（１＋x）bdx收敛，则（）．
(A) a＜１且b＞１(B) a＞１且b＞１
(C) a＜且a＋b＞１(D) a＞１且a＋b＞１
【分析】本题主要考查了反常积分的概念和比较判别法.对于既是无穷区间的反常积分，也是无解函数的反常积分，应该先将反常积分拆成两个仅为一种反常积分的和.
【详解】∫＋∞０１xa（１＋x）bdx＝∫１０１xa（１＋x）bdx＋∫＋∞１１xa（１＋x）bdx，
由于x→０＋时，１xa（１＋x）b～１xa，且暇积分∫１０１xadx当且仅当a＜１时收敛
所以a＜１时∫１０１xa（１＋x）bdx收敛.
又x→＋∞时，１xa（１＋x）b～１xa+b
，且无穷积分∫＋∞１１xa（１＋x）bdx当且仅当a＋b＞１时收敛，所以a＋b＞１时，∫＋∞１１xa（１＋x）bdx收敛.
综上，若反常积分∫＋∞０１xa（１＋x）bdx收敛，则
a＜１且a＋b＞１．若应选(C).
强化提高练习
1. 求下列不定积分
（1） ∫１ex（１＋e２x）dx
（2） ∫dx（２x２＋１）x２＋１
（3） ∫dxx＋３x
2. 求下列不定积分
(1) ∫lnx１＋xdx
(2) ∫x＋１x２＋４xdx
(3) ∫１＋x４１＋x６dx
3. 求下列不定积分
(1) ∫dx（x＋a）２（x＋b）２
(2) ∫dx（x２＋a２）（x２＋b２）
4. 求下列不定积分
(1) ∫dxsinx·cos４x
(2) ∫dxcosxsinx
5. 设f(lnx)＝ln（１＋x）x，计算∫f(x)dx.
6. 求limn→∞１＋１２n２·１＋２２n２…１＋n２n２１n．
7. 计算下列定积分
（１） ∫π２－π２１１＋e１xsin４xdx；（２） ∫π４－π４１１＋sinxdx．
8. 计算下列定积分
（１） ∫π２０xsin２xdx；
（２） ∫π０xsin２x－sin４xdx；
（３） ∫５π４π４（１＋cos２x）dx.
9. （1） 求∫１－１x（１＋x２０１７）（ex－e－x）dx；
(2) 求∫a－a［（x＋ecosx）f(x)＋（x－ecosx）f(－x)］dx；
（3） 设f(x)在R上有定义，对于任意的x，y，恒有f(x＋y)＝f(x)+f(y)，求∫a－af(x)(1+cosx)dx．
10. 求∫２－２minx２，１|x|dx.
11. 设f(x)＝２x＋３２x２，－１≤x＜０
xex（ex＋１）２，０≤x≤１，求函数Ｆ（x）＝∫x－１f(t)dx的表达式.
12. 设f(x)是奇函数，除x＝０外处处连续，x＝０是其第一类间断点，则∫x０f(t)dt是（）．
(A) 连续的奇函数(B) 连续的偶函数
(C) 在x＝０间断的奇函数(D) 在x＝０间断的偶函数
13. 设函数g(x)＝∫x０f(u)dx，其中f(x)＝１２（x２＋１），０≤x≤１
１３（x－１），１≤x≤２，则g(x)在区间(0，2)内（）．
(A)无界(B) 递减(C) 不连续(D) 连续
14. 设函数f(x)＝sinx，０≤x＜π，
２，π≤x≤2π，Ｆ（x）＝∫x０f(t)dt，则（）．
(A) x＝π是函数Ｆ（x）的跳跃间断点(B) x＝π是函数Ｆ（x）的可去间断点
(C) Ｆ（x）在x＝π处连续但不可导(D) F(x)在x＝π处可导
15. 已知f(x)可导，且limx→０f(x)x＝２，Ｆ（x）＝∫x０tn－１f(xn－tn)dt，求limx→０Ｆ（x）x２n．
16. 设f(x)连续，且limx→+∞f(x)＝１，则limx→＋∞∫x＋２xtsin３tf(t)dt＝．
17. 求极限limx→∞∫１０xn１＋x２dx．
18. 设f(x)是区间[0,1]上的单调、可导函数，其中g(x)为f(x)的反函数，且满足∫f(x)０g(t)dt＝１５（x５２－１），求f(x).
19. 已知x≥０，f(x)＝x，g(x)＝cosx，０≤x＜π２
０，x≥π２，求∫x０f(t)g(x-t)dt．
20. 求f(x)＝∫１０｜２x－t｜dt．x∈Ｒ
21. 设f(x)在R上满足f(x)=f(x-π)＋sinx，且f(x)＝x，x∈［０，π］，计算∫３ππf（x）dx．
22. 计算I＝∫１０x|x－a|dx．
23. 计算In＝∫nπ０x｜sinx｜dx（n＝１，２，…）．
24. 计算I＝∫π４０ln（１＋tanx）dx．
25. 计算I＝∫４２ln（９－x）ln（９－x）＋ln（x＋３）dx．
26. 计算∫１０x２arcsinx１－x２dx．
27. 设m，n是正整数，则反常积分∫１０mln２（１－x）nxdx的收敛性（）.
(A) 仅与m的取值有关(B) 仅与n的取值有关
(C) 与m，n取值都有关(D) 与m，n取值都无关
【参考答案】
1. （1） －e－x－arctanex＋Ｃ（2） arctanx１＋x２＋Ｃ（3） ２x－３３x＋６６x－６ln（６x＋１）＋Ｃ
2. (1) ２１＋xlnx－４１＋x－２ln１＋x－１１＋x＋１＋Ｃ
(2) ２１＋xlnx－４１＋x－２ln１＋x－１１＋x＋１＋Ｃ
(3) arctanx＋１３arctanx３＋Ｃ
3. (1) －２x＋a＋b（a-b）２（x+a）（x＋b）＋２（a-b）３lnx＋ax＋b＋Ｃ
(2) １b２－a２１aarctanxa－１barctanxb＋Ｃ
4. (1) １３cos３x＋１cosx＋ln｜cosx－cotx｜＋Ｃ
(2) １２ln１＋sinx１－sinx＋arctansinx＋Ｃ
5. －e－xln（１＋ex）＋x－ln（１＋ex）＋Ｃ
6. ２eπ２－２
7. （1） ３１６π（2） ２
8. （1） π２２（2） π２
（3） ３π２
9. （1）４e－１（2） ０
（3） ０
10. 2ln２＋２３
11. Ｆ（x）＝１２x３＋x２－１２，当－１≤x＜０
lnexex＋１－xex＋１＋ln２－１２，当０≤x＜１
12. B
13. D
14. C
15. １n
16. 6
17. 0
18. f(x)＝１３x３２－１３
19. ∫x０f(t)g(x-t)dt＝cosx－１，０≤x＜π２
x－π２－１，x≥π２
20. f(x)＝１２－２x，x＜０
４x２－２x＋１２，０≤x＜１
２x－１２，x≥１
21. π２－２
22. 当a≤０时，１３－a２；当０≤a＜１时，a２３－a２＋１３；当a≥１时，－１３＋a２
23. n２π
24. Ｉ＝π８ln２
25. I=1
26. π２１６＋１４
27. D
第四讲一元微积分的应用