重要概念、公式与结论
1． 两个基本概念
1） 原函数：Ｆ′（x）＝f(x)
2） 不定积分：∫f(x)dx＝Ｆ（x）＋Ｃ
2． 基本积分公式：（仅列出几个不易记与常考的，其余的见基础篇）
（1） ∫dxa２－x２＝arcsinxa＋Ｃ．（２） ∫dxx２±a２＝ln｜x＋x２±a２｜＋Ｃ
(3) ∫dxa２＋x２＝１aarctanxa＋Ｃ．(4) ∫dxa２－x２＝１２alna＋xa－x＋Ｃ．
(5) ∫secxdx＝ln｜sexx＋tanx｜＋Ｃ.（6） ∫cscxdx＝－ln｜cscx＋cotx｜＋Ｃ．
3． 三种主要积分法
（1） 第一类换元法（凑微分法）
若∫f(u)du＝Ｆ（u）＋Ｃ，则∫f(φ(x))φ′（x）dx＝Ｆ（φ（x））＋Ｃ
【评注】1. 适用对象：1) 被积函数为复合函数，且复合过程一般不含根式
2) 被积函数为两个不同类型函数乘积，且有“亲戚”(导——原)关系
即被积函数g(x)可以看作为两个因子f［φ(x)］与φ′(x)的乘积g(x)=f［φ(x)］φ′(x)
且一个因子f［φ(x)］是φ(x)的函数，另一个因子φ′(x)是φ(x)的导数.
【例3.1】求∫11－x2ln1－x1+xdx
【解析】因为ln1－x1+x′=(ln(1－x))′－(ln(1+x))′=－11－x－11+x=－21－x2
所以，原积分=－12∫ln1－x1+xdln1－x1+x=－14ln1－x1+x2+C
【例3.2】I=∫sinxsinx+cosxdx=．
【解析】由于(sinx)′=cosx，(cosx)′=－sinx，故可以考虑将分子拆成分母的整数倍与分母导数的整数倍的和.
I=∫sinxsinx+cosxdx=I=∫A(sinx+cosx)+B(cosx－sinx)sinx+cosxdx，
从而有A－B=1
A+B=0，由此知A=12，B=－12.
则I=∫sinxsinx+cosxdx=∫12(sinx+cosx)－12(cosx－sinx)sinx+cosxdx
=12x－ln(sinx+cosx)+C
（2） 第二类换元法：
∫f(x)dxx＝φ（t）∫f(φ（t）)φ′（t）dt＝Ｆ（t）＋Ｃ＝Ｆ（φ－１（x））＋Ｃ
1） 三角代换
i） a２－x２，x＝asint(acost)ii） a２＋x２，x＝atantiii） x２－a２，x＝asect
【评注】1. 适用对象：被积函数中一般含有根式，但含有根式的不一定用第二类换元积分法；
2. 被积函数中含有ax2+bx+c，则一般先配方，再做三角代换
2） 倒代换：令x=1t
【评注】适用对象：一般地，当被积函数f(x)以商的形式出现，且f(x)中分母、分子关于x的最高次数分别为r、s，若r－s≥２，则可考虑用倒代换，否则，不可用倒代换.
【例3.3】I=∫1x2x2－1dx=.
【解析】当x＞1时，令x=asect，t∈0，π2，x2－1=tant，则
I=∫1x2x2－1dx=∫secttantsec2ttantdt=∫costdt
=sint+C=x2－1x+C
当x＜－1时，令x=asect，t∈π2，π，x2－1=－tant，则
I=∫1x2x2－1dx=∫secttantsec2t(－tant)dt=－∫costdt
=－sint+C=－x2－1|x|+C=x2－1x+C
综上，I=x2－1x+C
【评注】在变量代换时，会遇到去绝对值，若绝对值中的式子，有时正，有时负，被积函数是初等函数，这时可不妨设绝对值中的式子大于零，不影响求不定积分，一般说，结果是一样的.
（3） 分部积分法∫udv=uv-∫vdu“适用两类不同函数相乘”
∫pn(x)eαxdx，∫pn(x)sinαxdx，∫pn（x）cosαx，∫eαxsinβxdx，
∫eαxcosβxdx，∫pn(x)lnxdx，∫pn（x）arctanxdx，∫pn（x）arcsinxdx
【推广】设u(x)，v(x)具有n+1阶连续导数，则有
∫udv=∫uv(n+1)dx=uv(n)－u′v(n－1)+u″v(n－2)－u??v(n－3)+…+(－1)(n+1)∫u(n+1)vdx
可用表格法推广公式
u的各阶导数uu′u″u??…u(n)u(n+1)
v(n+1)的各阶原函数v(n+1)v(n)v(n－1)v(n－2)…v′v
??
??
??
（-1）n+
求导积分
规则：
(1) 推广公式的各项(不包括符号)为从左上到右下错位相乘，最后一项为∫u(n+1)vdx
(2) 各项符号为“+”，“－”相间，最后一项符号为“(－1)(n+1)”
(3) 当表格中同一列的两个函数乘积等于所给被积函数的常数倍时，求导和求原函数工作不再进行，移项一般可求得积分；当被积函数中有一个因子为对数或反三角函数时，须作变量替换，把它换成指数或三角函数时才能使用表格法.
【例3.4】计算I=∫(2x2－3x+1)e－2xdx
【解析】方法1：由于是多项式与指数函数的乘积，故选用分部积分法，且将多项式选为u
I=∫(2x2－3x+1)e－2xdx=－12∫(2x2－3x+1)de－2x
=－12e－2x(2x2－3x+1)－∫e－2x(4x－3)dx
=－12e－2x(2x2－3x+1)－14∫(4x－3)de－2x
=－12e－2x(2x2－3x+1)－14e－2x(4x－3)－4∫e－2xdx
=－12e－2x(2x2－3x+1)－14e－2x(4x－3)－12e－2x+C
方法2：表格法
２x２－３x＋１4x-3４０
e－２x－１２e－２x１４e－２x－１８e－２x
??
??
??
原积分＝－１２e－２x（２x２－３x＋１）－１４e－２x（４x－３）－４８e－２x＋Ｃ
【例3.5】∫e2x(1+tanx)2dx=．
【解析】∫e2x(1+tanx)2dx=∫e2x(1+tan2x+2tanx)dx
=∫e2xsec2xdx+2∫e2xtanxdx=∫e2xdtanx+∫e2xtanxdx
=e2xtanx－2∫e2xtanxdx+2∫e2xtanxdx=e2xtanx+C
3° ∫pn(x)lnxdx∫pn(x)arcsinxdx∫pn(x)arctanxdx
取u=lnxarcsinxarctanx
【例3.6】∫(arcsinx)2dx
【详解】
方法1：∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2－∫xd(arcsinx)2
=x(arcsinx)2－2∫xarcsinx1－x2dx
=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1－x2
=x(arcsinx)2+21－x2arcsinx－∫1－x2darcsinx
=x(arcsinx)2+21－x2arcsinx－∫dx
=x(arcsinx)2+21－x2arcsinx－2x+C
方法2：令arcsinx=t，则x=sint，
∫(arcsinx)2dx=∫t2dsint=t2sint－2∫tsintdt
=t2sint+2∫tdcost=t2sint+2tcost－2∫costdt
=t2sint+2tcost－2sint+C
=x(arcsinx)2+21－x2arcsinx－2x+C
强化突破题型与典型例题
【题型一】基本积分运算
【方法总结】
(一) 第一类换元法：一般被积函数比较复杂，两个不同类型函数乘积，且有“亲戚”(导—原)关系；用凑微分法，将比较复杂的部分看成一个整体求导后得到被积函数中比较简单的部分，然后凑微分.
(二) 第二类换元法：被积函数中一般含有根式，用换元积分法.如倒代换，幂代换，三角代换，指数代换.
(三) 被积函数为两个不同类型函数乘积，且无“亲戚”(导—原)关系方法：分部积分法.
五种情况需要使用分部积分法：
∫xnexdx，即幂函数和指数函数之积
∫xnlnxdx，即幂函数和对数函数之积
∫xntanxdx，即幂函数和三角函数之积
∫xnarcsinxdx，即幂函数和反三角函数之积
∫excotxdx，即指数函数和三角函数之积
∫secnxdx当n为奇数
考研真题中往往是多种方法的综合.
【例1】求I=∫x51+x2dx
【解析】方法1：令x=tant，则dx=sec2tdt
I=∫tan5t·sec2tsectdt=∫tan4t·(tant·sect)dt=∫tan4t·d(sect)
=∫(sec2t－1)2d(sect)=∫(u2－1)2du(u=sect)
=15u5－23u3+u+C
=115(8－4x2+3x4)1+x2+C
方法2：I=12∫x4dx21+x2=∫x4d(1+x2)
=x41+x2－4∫x31+x2dx
=x41+x2－2∫［(x2+1)－1］1+x2d(1+x2)
=x41+x2－45(1+x2)52+43(1+x2)32+c
【例2】求∫arcsinexexdx
【解析】题目考察不定积分的计算，利用变量替换和分部积分的方法计算.
∫arcsinexexdx=－∫arcsinex·de－x=－e－xarcsinex+∫e－xdarcsinex
=－e－xarcsinex+∫e－xex1－e2xdx=－e－xarcsinex+∫11－e2xdx
令1－e2x=t，则x=12ln(1－t2)
∫11－e2xdx=∫1t122t1－t2dt=12lnt－1t+1+C
所以∫arcsinexexdx=－arcsinexex+12ln1－e2x－11－e2x+1+C
【例3】求∫arcsinx+lnxxdx
【解析】令t=x，x=t2，dx=2tdt
原式＝∫arcsinx＋lnxxdx＝∫arcsint+lnt2t·2tdt=2∫(arcsint+lnt2)dt
=2t·arcsint－2∫t1－t2dt+2t·lnt2－2∫t·2tt2dt
=2t·arcsint+2t·lnt2+∫d(1－t2)1－t2－4t
=2t·arcsint+2t·lnt2+21－t2－4t+C
=2xarcsinx+2xlnx+21－x－4x+C.
【例4】∫(1+sinx)ex1+cosxdx
【解析】法1：原式=∫1+sinx1+cosxdex=1+sinx1+cosxex－∫ex1+cosx+sinx(1+cosx)2dx
=1+sinx1+cosxex－∫ex1+cosxdx－∫exd11+cosx
=exsinx1+cosx+C
法2：∫sinx2+cosx22ex2cos2x2dx=12∫tanx2+12exdx
x2=t∫e2x(1+tanx)2dx=∫e2x(1+2tanx+tan2x)dx
=12e2x+2∫e2xtanxdx+∫e2xtan2xdx
=12e2x+∫tanxde2x+∫e2x(sec2x－1)dx
=12e2x+e2xtanx－∫e2xsec2xdx+∫e2xsec2xdx－∫e2xdx
=e2xtanx+C
【例5】I=∫xex1+exdx=.
【解析】I=∫xex1+exdx=2∫xd1+ex=2x1+ex－2∫1+exdx
=2x1+ex－2∫1+exexdext=ex2x1+ex－2∫1+ttdt
=2x1+ex－2∫1+tt1+tdt
=2x1+ex－2∫1t1+tdt－2∫11+tdt
v=1t2x1+ex+2∫1v+122－14dv－2∫11+tdt
＝２x１＋ex＋２lne－x＋１２＋ex１＋ex－４１＋ex＋Ｃ
【例6】∫11+x4dx
【解析】由于∫1+x21+x4dx=∫1x2+1x2+1x2dx=∫1x－1x2dx－1x
=12arctanx－1x2+C
∫1－x21+x4dx=∫1x2－1x2+1x2dx=－∫1x+1x2－2dx+1x
=－122
lnx+1x－2x+1x+2+C
即∫11+x4dx=12∫1+x21+x4dx+∫1－x21+x4dx
=1212arctanx－1x2－122lnx+1x－2x+1x+2+C
【题型二】分段函数的不定积分
【方法总结】先分别求出各区间段的不定积分表达式，然后由原函数的连续性确定出各积分常数的关系.
【例7】求不定积分∫e－|x|dx
【解析】∫e－|x|dx=－e－x+C1，x≥0
ex+C2，x＜0
因为e－|x|dx连续，所以原函数F(x)必连续，F(x)在x=0连续
limx→0+F(x)=limx→0+(－e－x+C1)=－1+C1
limx→0－F(x)=limx→0－(ex+C2)=1+C2
所以－1+C1=1+C2令C1=C，则C2=－2+C
故∫e－|x|dx=－e－x+C，x≥0
ex－2+C，x＜0
【例8】求∫max(x3，x2，1)dx.
【解析】令f（x）=max(x3，x2，1)=x3，x≥1
x2，x≤－1
1，|x|＜1
当x≥1，∫f（x）dx=∫x3dx=14x4+C1，
当x≤－1，∫f（x）dx=∫x2dx=13x3+C2
当|x|＜1，∫f（x）dx=∫1dx=x+C
由于原函数的连续性，有limx→1+14x4+C1=limx→1－(x+C)
又limx→－1+(x+C)=limx→－1－13x3+C2，解得C1=34+C，C2=－23+C
因此∫f（x）dx=∫max(x3，x2，1)dx=14x4+34+C，x≥1
13x3+－23+C，x≤－1
x+C，|x|＜1
【题型三】有理函数的不定积分
1. 一般方法；部分分式法；
将被被积函数(化为多项式与有理真分式的和)，再把真分式化成部分分式之和，然后积分.
Rn(x)=P(x)Q(x)假分式：分子次数≥分母次数
真分式：分子次数＜分母次数
(1) 假分式→多项式+真分式，如x4x2+1=x2(x2+1)－(x2+1)+1x2+1=x2－1+1x2+1
(2) 真分式4x－1(2x－1)(x+1)=A2x－1+Bx+1
4x－1(2x－1)(x+1)2=A2x－1+Bx+1+C(x+1)2
3x+2(x2+1)(x－2)=Ax+Bx2+1+Cx－2
3x+4(x2+1)2x(x－1)2=Ax+Bx2+1+Cx+Ｄ(x2+1)2+Ex+Fx－1+G(x－1)2
2. 简单方法：① 凑微分降幂；② 变量代换：倒代换．
一般当有理真分式分母次数大于等于4时，最好选用简单方法；尤其是被积函数中分母减分子的最高次数大于2时，选倒代换.
【例9】求I=∫1x+x9dx.
【解析】法1：I=∫dxx(1+x8)=∫x7dxx8(1+x8)=18∫duu(1+u)令x8=u
=18∫1u－1u+1du=18lnuu+1+C=18lnx81+x8+C
法2：I=∫(1+x8)－x8dxx(1+x8)=∫1x－x71+x8dx
I=∫(1+x8)－x8dxx(1+x8)=∫1x－x71+x8dx=lnx－18ln(1+x8)+C
法3：I=∫dxx91+1x8=－18∫dx－81+x－8=－18ln|1+x－8|+C
法4：令x=1t，则dx=－1t2dt
I=∫1x+x9dx=∫11t+1t9－1t2dt=－∫t7t8+1dt=－18∫1t8+1d(t8+1)
=－18ln(t8+1)+C=－181x8+1+C
【例10】∫x+5x2－6x+13dx.
【解析】通过变换，将积分转化为常见积分，即
∫x+5x2－6x+13dx=∫x－3x2－6x+13dx+∫8x2－6x+13dx
=12∫d(x2－6x+13)x2－6x+13+∫8(x－3）2+4dx
=12ln(x2－6x+13)+4∫dx－32x－322+1
=12ln(x2－6x+13)+4arctanx－32+C
【评注】一般遇到分母的二次三项式，能因式分解降幂的先因式分解，否则，先配方.
【例11】求I=∫3x2－x+4(x－1)(2+x2)dx
【解析】设3x2－x+4(x－1)(2+x2)=Ax－1+Bx+C2+x2=A(2+x2)+(x－1)(Bx+C)(x－1)(2+x2)
可得A=2，B=1，C=0，因此
I=∫3x2－x+4(x－1)(2+x2)dx=∫2x－1dx+∫x2+x2dx
=2ln|x－1|+12ln(2+x2)+C
【题型四】三角有理函数的不定积分［形如∫R(sinx，cosx)dx的积分］
1． 一般方法：万能代换令tanx2=u
则∫R(sinx，cosx)dx=∫R2u1+u2，1－u21+u22du1+u2.
(1) 形如∫1a+bsinxdx，(a≠±b)，∫1a+bcosxdx，(a≠±b)
∫1a+bsinx+ccosxdx的积分，一般需用万能代换把三角有理式化为有理函数积分.
(2) ∫R(sinx，cosx)a+bsinxdx若a=±b则一般分子分母可同乘1μsinx将分母变成单项式处理.
(3) ∫R(sinx，cosx)a+bcosxdx若a=±b则一般分子分母可同乘1μcosx或利用
1+cosx=2cos2x2或1－cosx=2sin2x2，将分母变成单项式处理，一般用后者.
2． 简单方法：(三角变形，换元，分部)
(1) 形如∫asinx+bcosxcsinx+dcosxdx的积分
方法；令asinx+bcosx=A(csinx+dcosx)+B(csinx+dcosx)′，并求出A，B
则，∫asinx+bcosxcsinx+dcosxdx=Ax+Bln|csinx+dcosx|+C
(2) 形如∫sinmxcosnxdx(m，n为整数)的积分
方法1：若m，n至少有一个为奇数(不论是正还是负)，则∫sinmxcosnxdx
=∫sinmxcosn－1x(cosxdx)=∫sinmx(1－sin2x)n－12dsinx
方法2：若m，n都是正偶数，则利用公式
sinxcosx=12sin2x，sin2x=1－cos2x2，cos2x=1+cos2x2将被积函数降幂
方法3：若m，n都是负偶数，则将不定积分化成∫f(tanx)dtanx或∫f(cotx)dcotx的形式
方法4：若m，n分别是正偶数和负偶数，可将被积函数中的cosx(或sinx)化成sinx(或cosx)
【例12】求不定积分∫12sinx+cosx5sinx－2cosxdx.
【解析】12sinx+cosx=A(5sinx－2cosx)+B(5sinx－2cosx)′
则有5A+2B=12
－2A+5B=1，解得A=2，B=1，所以，
∫12sinx+cosx5sinx－2cosxdx=2x+ln|5sinx－2cosx|+C
【例13】求∫dxsin２x＋２sinx.
【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin２α＝２sinα·cosα，并利用换元积分，结合拆项法求积分，得
∫dxsin２x＋２sinx＝∫dx２sinx（cosx＋１）
＝∫sinxdx２sin２x（cosx＋１）
cosx＝u －１２∫１（１－u）（１＋u）２du（Θ sin２x＝１－cos２x）
＝－１４∫（１＋u）＋（１－u）（１－u）（１＋u）２du＝－１８∫１１－u＋１１＋u＋２（１＋u）２du
＝１８ln｜１－u｜－ln｜１＋u｜＋２（１＋u）＋Ｃ
＝１８ln（１－cosx）－ln（１＋cosx）＋２１＋cosx＋Ｃ，
其中Ｃ为任意常数.
方法2：换元cosx＝u后，有
原式＝∫dx２sinx（cosx＋１）＝∫sinxdx２sin２x（cosx＋１）＝－１２∫du（１－u）（１＋u）２.
用待定系数法将被积函数分
其中１（１－u）（１＋u）２＝Ａ１－u＋Ｂ１＋u＋Ｄ（１＋u）２
＝（Ａ－Ｂ）u２＋（２Ａ－Ｄ）u＋（Ａ＋Ｂ＋Ｄ）（１－u）（１＋u）２，
?? Ａ－Ｂ＝０
２Ａ－Ｄ＝０
Ａ＋Ｂ＋Ｄ＝１ ?? Ａ＝Ｂ＝１４，Ｄ＝１２．
于是，原式＝－１８∫１１－u＋１１＋u＋２（１＋u）２du
＝１８ln｜１－u｜－ln｜１＋u｜＋２１＋u＋Ｃ
＝１８ln（１－cosx）－ln（１＋cosx）＋２１＋cosx＋Ｃ．
【题型五】简单无理函数的不定积分
方法：一般是通过变量代换，去根号，化为有理函数的积分
∫R(x，nax+b)dx可作u=nax+b代换化为有理函数；
∫Rx，nax+bcx+edx可作u=nax+bcx+e代换化为有理函数.
【例14】求∫1xx+1x－1dx.
【解析】方法1(换元法)：令x+1x－1=t，
原式=－4∫t2(t2+1)(t2－1)dt=－2∫(t2+1)+(t2－1)(t2+1)(t2－1)dt
=ln1+t1－t－2arctant+c
方法2：（凑微分）原式=∫1xx+1x2－1dx=∫dxx2－1+∫dxx21－1x2
=ln|x+x2－1|－arcsin1x+c
【题型六】与不定积分概念及性质相关的题
【例15】若ln(x+1+x2)为f(x)的一个原函数，求I=∫xf′(x)dx.
【解析】I=∫xf′(x)dx=xf(x)－∫f(x)dx=x(ln(x+1+x2)′－ln(x+1+x2)+C=x1+x2－ln(x+1+x2)+C
【例16】已知f′(ex)=xe－x，且f(1)=0，则f(x)=.
【解析】先求出f′(x)的表达式，再积分即可.
方法1：令ex=t，则x=lnt，e－x=1t，于是有f′(t)=lntt，即f′(x)=lnxx.
两边积分得f(x)=∫lnxxdx=∫lnxdlnx=12(lnx)2+C.
利用初始条件f(1)=0，代入上式：f(1)=12(ln1)2+C=C=0，即C=0，故所求函数为f(x)= 12(lnx)2.
【例17】设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，F(x)f(x)=xex2(1+x)2已知F(0)=1，F(x)＞0.求f(x).
【解析】方法1：由F(x)f(x)=12(F2(x))′=xex2(1+x)2
∴F2(x)=∫xe2(1+x)2dx=∫(x+1)－1(1+x)2exdx=∫ex1+x－∫ex(1+x)2dx=∫ex1+xdx－－ex1+x+∫ex1+xdx=ex1+x+C；由F(0)=1，故C=0
F2（x）=ex1+x，F（x）=ex1+x，于是f（x）=F′（x）=12xexex1+x(1+x)2
方法2：F2(x)=∫xex(1+x)2dx=－∫(xex)d11+x=－xex(1+x)+∫ex(1+x)1+xdx
=－xex(1+x)+ex+c=ex1+x+c
F(x)=ex1+x
，f(x)=1F(x)xex2(1+x)2