考试要点剖析
一、理解三重积分的概念，了解三重积分的性质，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
1. 定义
设f(x，y，z)是空间闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n个小闭区域Δv１，Δv２，…，Δvn，其中Δvi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个Δυi上任取一点（ξi，ηi，ζi），作乘积f(ξi，ηi，ζi)Δυi(i=1，2，…，n)，并作和∑ni=1f(ξi，ηi，ζi)Δυi，如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，该和的极限总存在且唯一，则称此极限值为函数f(x，y，z)在闭区域Ω上的三重积分，记作??Ωf(x,y,z)dυ，即
??Ωf(x,y,z)dυ＝limλ→０∑ni＝１f(ξi，ηi，ζi)Δυi，
其中f(x，y，z)称为被积函数，f(x,y,z)dυ称为被积表达式，dυ称为体积元素．
x，y，z称为积分变量，Ω称为积分区域.
【注】若f(x，y，z)在Ω上连续，则三重积分??Ωf(x,y，z)dυ
一定存在.
2． 物理意义
设一物体占有Oxyz上闭区域Ω，在点（x,y,z）处的体密度为ρ(x，y，z)，假定ρ(x，y，z)在Ω上连续，则物体质量M为
Ｍ＝??Ωρ（x,y,z）dυ.
3． 性质
（以下总假设u=f(x，y，z)在空间闭区域Ω可积）
性质1（求空间体体积）??Ω1dυ=V，V是Ω的体积
性质2（线性性质）设k1，k2为常数，则
??Ωk1f(x，y，z)+k1g(x，y，z)dυ=k1??Ωf(x，y，z)dυ+k2??Ωg(x，y，z)dυ
性质3（积分可加性）设Ω1∪Ω2=Ω且Ω1∩Ω2≠??，则
??Ω1+Ω2f(x，y，z)dυ=??Ω1f(x，y，z)dυ+??Ω2f(x，y，z)dυ
性质4（比较性质）设在空间闭区域Ω上有f(x，y，z)≤g(x，y，z)，则
??Ωf(x，y，z)dυ≤??Ωg(x，y，z)dυ
特别地：|??Ωf(x，y，z)dυ|≤??Ω|f(x，y，z)|dυ
性质5（估值定理）设M，m分别f(x，y，z)在Ω上最大值和最小值，V是Ω的体积
mV≤??Ωf(x，y，z)dυ≤MV
性质6（积分中值定理）
若f(x，y，z)在空间闭区域Ω上连续，V是Ω的体积，则至少存在一点（ξ，η，ζ）∈Ω，使得??Ωf(x,y,z)dυ＝f(ξ，η，γ)Ｖ.
4． 三重积分的计算法
（1） 利用直角坐标计算三重积分
若空间闭区域Ω可以用不等式
z１（x,y）≤z≤z２（x,y），y１（x）≤y≤y２（x），a≤x≤b
来表示，则??Ωf(x,y,z)dυ＝∫badx∫y２（x）y１（x）dy∫z２（x,y）z１（x,y）f(x,y,z)dz．
若空间闭区域Ω＝｛（x,y,z）｜（x,y）∈Ｄz，c１≤z≤c２｝，
其中Ｄ２是平行于xOy平面、纵坐标为z平面截闭区域Ω得到的一个平面闭区域，则
??Ωf(x，y，z)dυ=∫c2c1dz??DZf(x，y，z)dxdy.
（2） 利用柱面坐标计算三重积分
若空间区域Ω以用不等式
z１（r,θ）≤z≤z２（r，θ），r１（θ）≤r≤r２（θ），α≤θ≤β
来表示，则
??Ωf(x,y,z)dxdydz＝??Ωf(rsinθ，rcosθ，z)rdrdθdz
＝∫βαdθ∫r２（θ）r１（θ）rdr∫z２（r，θ）z１（r,θ）f(rsinθ，rcosθ，z)dz．
（3） 利用球面坐标计算三重积分
若空间闭区域Ω边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为ρ＝ρ（??，θ），则
??Ωf(x,y,z)dυ＝??Ωf(ρsinφsinθ，pcosφcosθ，ρcosφ)ρ２sinφdθφdρ
＝∫２π０dθ∫π０sinφdφ∫ρ（φ，θ）０f(ρsinφsinθ，ρcosφcosθ，ρcosφ)ρ２dρ
5. 利用奇偶性
（1） 一般对称性：若积分域Ω关于xOy坐标面对称，f(x，y，z)关于z有奇偶性，则
??Ωf(x，y，z)dV=2??Ωz≥0f(x，y，z)dV，f(x，y，z)=f(x，y，－z)
0，f(x，y，z)=－f(x，y，－z)，
类似地，可得到Ω关于yOz坐标面对称，Ω关于zox坐标面对称的情形.
（2） 轮换对称性：
1） 若x，y互换后，区域Ω不变，则??Ωf(x,y,z)dxdydz=??Ωf(y,x,z)dxdydz
2） 若x→y，y→z，z→x互换后区域Ω不变，则
??Ωf(x,y,z)dxdydz＝??Ωf(y,z,x)dxdydz
【注】中心在原点的球和中心在原点的球在第一卦限的部分，都属于这样的区域.
6． 三重积分的计算
直角坐标系下：
（1） 先一后二法（投影法）若Ω：(x，y)∈Dxy，z1(x，y)≤z≤z2(x，y)，则
??Ωf(x，y，z)dν=??Dxydxdy∫z2(x，y)z1(x，y)f(x，y，z)dz；
其中Dxy是Ω在xOy面上的投影区域，z2(x，y)为Ω的上顶，z1(x，y)为Ω的下顶（见图一）.
【注】1） 若将Dxy表示为：y1(x)≤y≤y2(x)，a≤x≤b，进而Ω可来表示，
z１（x,y）≤z≤z２（x,y），y１（x）≤y≤y２（x），a≤x≤b
则有，??Ωf(x,y,z)dυ＝∫badx∫y２（x）y１（x）dy∫z２（x,y）z１（x,y）f(x,y,z)dz.
2） 当积分域Ω为区顶、曲底的柱形立体，侧柱面平行于z轴的情形.
图一
图二
（2） 先二后一法(截面法)：若Ω：c1≤z≤c2，(x，y)∈Dz，其中Dz是平面z=c1和z=c2之间的任一平行于xOy平面的平面[过点(0，0，z)]截Ω所得的区域（见图二），则
??Ωf(x，y，z)dν=∫c2c1dz??Dzf(x，y，z)dxdy.
【注】1) 当积分域Ω为旋转体或锥体，旋转轴为z轴的情形，一般考虑“先二后一”法.
2) 若f(x，y，z)=g(z)仅为z的函数，且DZ的面积易计算，此时
??Ωf(x，y，z)dν=∫c2c1dz??Dzf(x，y，z)dxdy=∫c2c1g(z)SDZdz(SDZ为DZ的面积)
柱面坐标系下：直角坐标M(x，y，z)??柱面坐标M(r，θ，z)的变换公式为：x=rcosθ
y=rsinθ
z=z，0≤r＜+∞，0≤θ≤2π.
积分变换公式为：
??Ωf(x，y，z)dxdydz=??Ωf(rcosθ，rsinθ，z)rdrdθdz.
【注】1) 利用柱面坐标计算三重积分的关键在于先将积分域Ω表示成柱面坐标形式，再将三重积分化为柱面坐标下的三次积分，积分顺序通常是先z再r后θ
2) 若空间区域Ω可以表示为
z１（r,θ）≤z≤z２（r,θ），r１（θ）≤r≤r２（θ），α≤θ≤β
则有
??Ωf(x，y，z)dxdydz=∫βαdθ∫r2(θ)r1(θ)rdr∫z2(r，θ)z1(r，θ)f(rsinθ，rcosθ，z)dz
3） 适用于积分域Ω为旋转体或锥体，旋转轴为z轴，被积函数含有x2+y2的情形.
球面坐标系下：直角坐标M(x，y，z)??球面坐标M(r，θ，φ)的变换公式为：x=rsinφcosθ
y=rsinφsinθ
z=rcosφ，0≤r＜+∞，0≤θ≤2π，0≤φ≤π
积分变换公式为：
??Ωf(x，y，z)dxdydz=??Ωf(rsinφcosθ，rsinφsin??，rcosφ)r2sinφdrdθdφ.
【注】1） 若Ω是由锥面、球面与平面所围，或被积函数中含有x2+y2+z2用球坐标系.
2) 利用球面坐标计算三重积分的关键在于先将积分域Ω表示成球面坐标形式，再将三重积分化为球面坐标下的三次积分，积分顺序通常是先r再φ后θ
即先对r积分，从原点引一条射线，穿过Ω内部，设先与之相交的曲面方程为r1(φ，θ)后与之相交的曲面方程为r2(φ，θ)，则
Ω：r1(φ，θ)≤r≤r2(φ，θ)
(φ，θ)∈σφθ
故积分可表示为
??Ωf(x，y，z)dυ=??σφθsinφdφdθ∫r2(φ，θ)r1(φ，θ)f(r，φ，θ)r2dr
=∫??dθ∫?0sinφdφ∫r2(φ，θ)r1(φ，θ)f(rsinφsinθ，rcosφcosθ，rcosφ)r2dr
关于积分∫??sinφdφ，积分限这样确定：
若z轴从积分域Ω中穿过，则∫??sinφdφ=∫π0sinφdφ，
若z轴与积分域Ω相离或相切，则总可以找到两个半锥角分别为α，β(α＜β)的锥面，把Ω夹在其中，于是∫??sinφdφ=∫βαsinφdφ
关于积分∫??dθ，积分限这样确定：把积分域Ω投影到xOy平面，然后按照二重积分极坐标系定角方法来定.
特别地：若空间闭区域Ω边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为 r=r(φ，θ)，则
??Ωf(x，y，z)dυ=∫2π0dθ∫π0sinφdφ∫r(φ，θ)0f(rsinφsinθ，rcosφcosθ，rcosφ)r2dr.
基础过关题型
【题型一】三重积分的性质与计算
【例1】设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则（）．
（A） ??Ω1xdv=4??Ω2xdv（B） ??Ω1ydv=4??Ω2ydv
（C） ??Ω1zdv=4??Ω2zdv（D） ??Ω1xyzdv=4??Ω2xyzdv
【详解】由区域形状可见，利用奇、偶性、对称性及轮换对称性即可解决本题.
Ω1既关于yOz平面对称，又关于zOx平面对称.被积函数z既是x的偶函数，又是y的偶函数，所以??Ω1zdv=4??Ω2xdv.
又因在第一卦限内，x，y，z轮换对称，所以??Ω2zdv=??Ω2xdv，从而（C）正确，选（C）.
(A)、(B)、(D)的左边均为0而右边皆为正，所以(A)、(B)、(D)都不正确.
【例2】计算I=??Ωzdxdydz，其中Ω为三个坐标面及平面x+y+z=1所围成的区域.
【详解】方法1（先一后二）：Ω可表示为0≤z≤1－x－y，0≤y≤1－x，0≤x≤1
??Ωzdv=??Dxydxdy∫1－x－y0zdz=??Dxy12(1－x－y)2dxdy
=∫10dx∫1－x012(1－x－y)2dy=16∫10(1－x)3dx=124.
方法2（先二后一）：用z=DZ去截Ω，则DZ为等腰三角形，其面积为12(1－z)2
I=??Ωzdxdydz=∫10dz??DZzdxdy=∫1012z(1－z)2dz
=∫1012(z－2z2+z3)dz=124
【例3】计算I=??Ωzdv，其中Ω为z=x2+y2与z=4围成.
【详解】方法1（柱面坐标）：把闭区域Ω投影到xOy面上，得到半径为2的圆形闭区域
Dxy={(r，θ)|0≤r≤2，0≤θ≤2π}
在Dxy内任取一点(r，θ)，过此点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面z=x2+y2穿入Ω内，然后通过平面z=4穿出Ω外，因此闭区域Ω可用不等式
r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π
来表示，于是
??Ωzdv=??Ωzrdrdθdz=∫2π0dθ∫20rdr∫4r2zdz=12∫2π0dθ∫20r(16－r4)dr
=12·2π8r2－16r620=64π3.
方法2（先二后一）：用z=DZ去截Ω，则DZ为圆形，其半径为z，面积为πz
I=??Ωzdxdydz=∫40dz??DZzdxdy=∫40zπzdz=πz3340=643π
【例4】计算I=??Ω(x2+y2)dv，其中Ω是由曲面x2+y2+z2≤a2，y≥0所围区域.
【详解】在球坐标系下，积分域Ω可以表示为
Ω={0≤r≤a，0≤θ≤π，0≤φ≤π}
??Ω(x2+y2)dv=??Ωr2sin2φ·r2sinφdrdθdφ=∫π0dθ∫π0dφ∫a0r4sin3φdr
=∫π0dθ∫π0sin3φ15r5a0dφ=－π5a5cosφ－13cos3φπ0
=415πa5