考试要点剖析

一、了解空间曲线的切线与法平面及空间曲面的切平面与法线的概念，会求它们的方程.

1.　空间曲面的切平面与法线

设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，则曲面上点M(x0，y0，z0)处的法向量为

{F′x(x0，y0，z0)，F′y(x0，y0，z0)，F′z(x0，y0，z0)}

该点切平面方程：

F′x(x0，y0，z0)(x－x0)+F′y(x0，y0，z0)(y－y0)+F′z(x0，y0，z0)(z－z0)=0

该点的法线方程：x－x0F′x(x0，y0，z0)=y－y0F′y(x0，y0，z0)=z－z0F′z(x0，y0，z0)

【注】若曲面方程为z=f(x，y)，则转化为F(x，y，z)=z－f(x，y)，

其法向量n={－??z??x，－??z??y，1}，此n指向与z轴正向夹角为锐角.

2.　空间曲线的切线与法平面

（1）　参数式方程：设曲线的方程为x=φ(t)

y=ψ(t)

z=ω(t)，在曲线上对应t=t0的点P0(x0，y0，z0)处

切向量为：τ={??′(t0)，ψ′(t0)，ω′(t0)}

切线方程：x－x0φ′(t0)=y－y0ψ′(t0)=z－z0ω′(t0).

法平面方程为φ′(t0)(x－x0)+ψ′(t0)(y－y0)+ω′(t0)(z－z0)=0

(2)　一般式方程：

设曲线的方程为Γ：F(x，y，z)=0

G(x，y，z)=0，在点M(x0，y0，z0)处的切线方程和法平面方程

方法1：视x为参数，则在点M(x0，y0，z0)处切向量τ={1，y′(x0)，z′(x0)}

切线方程：x－x01=y－y0y′(x0)=z－z0z′(x0)

法平面方程：(x－x0)+y′(x0)(y－y0)+z′(x0)(z－z0)=0

方法2：在点M(x0，y0，z0)处的切向量为l=ijk

F′xF′yF′z

G′xG′yG′z={l，m，n}

切线方程：x－x0l=y－y0m=z－z0n.

法平面方程：l(x－x0)+m(y－y0)+n(z－z0)=0．

二、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法

1.　方向导数的定义

设二元函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)的某邻域内有定义，从P0点引射线l，并设P(x0+Δx，y0+Δy)为l上另外一点，如果极限limρ→0f(x0+Δx，y0+Δy)－f(x0，y0)ρ存在，则称此极限为函数f(x，y)在点P0沿方向l的方向导数，记作??f??l，ρ=(Δx)2+(Δy)2.

也可表示为??f??l(x0，y0)=limt→0+f(x0+tcosα，y0+tcosβ)－f(x0，y0)t

【注】(1)　??f??l表示z=f(x，y)在点P(x，y)沿方向l的变化率，即表示函数z=f(x，y)在点P(x，y)沿着这个方向函数增长快慢.

(2)　??f??l的存在性及计算：

??　若函数z=f(x，y)在点P(x0，y0)是可微的，那么函数在该点沿任意方向l的方向导数存在且??f??l=??f??xP·cosα+??f??yP·cosβ，其中α，β为方向l的方向角.

??　若函数u=f(x，y，z)在点P(x，y，z)处可微，那么函数在该点沿任意方向l的方向导数存在且为??f??l=??f??xcosα+??f??ycosβ+??f??zcosγ，其中α，β，γ为方向l的方向角.

2.　梯度的定义

设函数f(x，y)在平面域D内具有一阶连续偏导数，则对每一点P0(x0，y0)∈D，均可定义一个向量fx(x0，y0)i+fy(x0，y0)j，这个向量称为函数在点P0(x0，y0)的梯度

即gradf(x，y)=??f??xi+??f??yj.

类似地：三元函数的梯度gradf(x，y，z)=??f??xi+??f??yj+??f??zk.

3.　方向导数与梯度的关系

当u=f(x，y，z)在点P(x，y，z)处可微时，有

??f??l=??f??xcosα+??f??ycosβ+??f??zcosγ=??f??x，??f??y，??f??zcosα，cosβ，cosγ

=gradf(x，y，z)·e0=|gradf(x，y，z)|cosθ

其中θ是gradf(x，y，z)与e0的夹角.

【注】函数在某点沿其梯度的方向的方向导数取得最大值|gradf(x，y，z)|，沿其梯度的方向的方向导数取得最小值－|gradf(x，y，z)|

基础过关题型

【题型八】建立曲面的切平面和法线方程

【例13】求曲面z－ey+2xy=3在点M0(1，2，0)处的切平面和法线方程.

【详解】令F(x，y，z)=z－ez+2xy－3，则

F′x(1，2，0)=2y(1，2，0)=4，F′y(2，2，1)=2x(1，2，0)=2，F′z(2，2，1)=(1－ez)(1，2，0)=0

于是n={4，2，0}，或取n={1，1，－4}.

故所求切平面方程为4(x－1)+(y－2)=0，即2x+y=0.

法线方程为x－14=y－22=z0.

【题型九】建立空间曲线的切线和法平面方程

【例14】求曲线x=t－sint，y=1－cost，z=4sint2在点t=π2处的切线方程和法平面方程

【详解】由于x′(t)=1－cost，y′(t)=sint，z′(t)=2cost2，则在t=π2处切线向量为　τ={1，1，2}.

则所求切线方程为x+1－π21=y－11=z－222

法平面方程为x－π2+1+(y－1)+2(z－22)=0

即x+y+2z－π2－4=0

【题型十】方向导数与梯度的概念及计算

【例15】函数u=ln(x+y2+z2)在点A(1，0，1)处沿A指向B(3，－2，2)方向的方向导数为.

【详解】??u??x(1，0，1)=1x+y2+z2(1，0，1)=12，??u??y(1，0，1)=yy2+z2x+y2+z2(1，0，1)=0

??u??z(1，0，1)=zy2+z2x+y2+z2(1，0，1)=12

AB??={2，－2，1}

则所求的方向导数为：12×23+0×－23+12×13=12.

【例16】函数f(x,y)＝arctanxy在点(0，1)处的梯度等于（）.

（A）　i（B）　－i（C）　j（D）　－j

【详解】因为f′x＝１y１＋x２y２，f′y＝－xy２１＋x２y２，所以f′x（０，１）＝１，f′y（０，１）＝０，所以gradf（０，１）＝１·i+0·j=i，故应选（A）．

第十一讲多元积分学（仅数一）

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