考试要点剖析

一、了解曲面方程与空间曲线方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；会求空间曲线在坐标平面上的投影线的方程.

1.　曲面

如果曲面Σ与方程F(x，y，z)=0满足：

①　Σ上的点坐标满足方程F(x，y，z)=0

②　不在Σ上的点坐标不满足方程F(x，y，z)=0

则称方程F(x，y，z)=0为曲面Σ的方程，称曲面Σ为方程F(x，y，z)=0的曲面.F(x，y，z)=0

例如：球心在(x0，y0，z0)、半径R是的球面方程为：

(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=R2

特别地：球心在原点的单位球面的方程为x2+y2+z2=1

（1）　柱面方程

【定义】空间中动直线L沿定曲线Γ平行移动所形成的曲面Σ称为柱面；定曲线Γ称为柱面∑的准线，动直线L称为柱面Σ的母线.

【结论】1)　f(x，y)=0表示以xOy面上曲线f(x，y)=0

z=0为准线，母线平行于z轴的柱面；

2)　g(y，z)=0表示以yOz面上曲线g(y，z)=0

x=0为准线，母线平行于x轴的柱面；

3)　h(x，z)=0表示以xOz面上曲线h(x，z)=0

y=0为准线，母线平行于y轴的柱面．

例如：不含z的方程x2+y2=R2在空间坐标系中表示圆柱面，它的母线平行于z轴，准线为xOy面上的圆x2+y2=R2；

方程y2=2x在空间坐标系中表示抛物柱面，它的母线平行于z轴，准线为xOy面上的抛物线y2=2x；

方程x－z=0在空间坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，准线为xOz面上的直　z=x；

【方法运用点拨】方程中缺哪个变量，方程就代表母线平行于那个轴的柱面.

（2）　旋转曲面

定义平面曲线绕该平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.

方程设有xOy面上的曲线L：f(x，y)=0

z=0，则

1)　曲线L绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为f(x，±y２＋z２)＝０；

2)　曲线L绕y轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为f（±x２＋z２，y）＝０．

类似可写出yOz面或xOz面上的曲线绕其所在坐标面上的坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面方程．

【方法运用点拨】两个不变1）　绕哪个轴旋转，该坐标不变；2）　曲线上的点转到任何位置到该轴的距离不变.

例如双曲线x2a2－z2c2=1

y=0绕

x轴旋转一周所形成的旋转双叶双曲面的方程为

x2a2－y2+z2c2=1

绕z轴旋转一周所形成的旋转单叶双曲面的方程为

y2+x2a2－z2c2=1

又如，对称轴为z轴、顶点在原点、半顶角为α的圆锥面方程为

z2=cot2α(x2+y2)

特别地，当α=π4时，圆锥面方程为z2=x2+y2

其中，上半圆锥面为z=x2+y2，下半圆锥面为z=－x2+y2

3.　曲线

(1)　参数方程x=x(t)，

y=y(t)，

z=z(t).

【例10.1】设空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中ω，v都是常数），那么点M构成的图形叫作螺旋线.求其参数方程.

【详解】取时间t为参数，设当t=0时，动点位于x轴上的一点A(a，0，0)处.经过时间t，动点由A运动到M(x，y，z)，记M(x，y，z)在面上的投影为M′，M′的坐标为(x，y，0).由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z轴旋转，所以经过时间t，∠AOM′=ωt.

从而x=|OM′|cos∠AOM′=acosωt，y=|OM′|sin∠AOM′=asinωt

由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升

所以z=M′M=vt

因此，螺旋线的参数方程为x=acoswt，

y=asinwt，

z=vt

(2)　一般方程F1(x，y，z)=0，

F2(x，y，z)=0.这是由两个曲面相交所得的曲线.

【例10.2】方程z=a2－x2－y2

x－a２2+y2=a２2表示怎样的曲线？

【详解】方程组中的第一个方程表示球心在坐标原点，半径为a的上半球面；第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，它的准线是xOy面上的圆，这圆的圆心在点a2，0，半径为a2，方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.

(3)　空间曲线在坐标平面上的投影曲线

【问题】求曲线C：F(x，y，z)=0

G(x，y，z)=0在xOy平面上的投影曲线的方程

【方法】从曲线C：F(x，y，z)=0

G(x，y，z)=0方程中消去z得到C关于xOy平面的投影柱面　H(x，y)=0，则C在xOy平面上的投影曲线为H(x，y)=0，

z=0.

同理，可得C关于其他两个平面的投影曲线.

基础过关题型

【题型六】建立柱面方程及旋转面方程

【例10】求以曲线x2+y2+2z2=1

z=x2+y2为准线，母线平行于z轴的柱面.

【详解】将z=x2+y2代入x2+y2+2z2=1得x2+y2+2(x2+y2)2=1，即x2+y2=12为所要求的柱面.

【例11】求下列曲线绕指定的轴旋转产生的旋转面的方程

（1）　2x2+y2=1

z=0，分别绕x轴和y轴旋转.

（2）　z=y2

x=0，分别绕y轴和z轴旋转.

【详解】（1）　绕x轴旋转面方程：2x2+y2+z2=1；绕y轴旋转面方程：2(x2+z2)+y2=1.

（2）　绕y轴旋转面方程：x2+z2=y2，即x2+z2=y4；绕z轴旋转面方程：z=y2+x2.

【题型七】求空间曲线的投影曲线方程

【例12】求曲线L：x2+y2+z2=a2(a＞0)

x2+y2=ax在xOy面和xOz面上的投影曲线方程.

【详解】消去未知数z得到在xOy面上的投影柱面方程为x2+y2=ax，所以L在xOy面上的投影曲线为x2+y2=ax

z=0

消去未知数y得到在xOz面上的投影柱面方程为z2+ax=a2，所以L在xOz面上的投影曲线方程为z2+ax=a2

y=0