考试要点剖析

一、掌握平面方程和直线方程及其求法.

1.　平面方程

垂直于平面的非零向量称为该平面的法向量，记为n={A，B，C}，法向量不唯一.

（1）　点法式：过点M0(x0，y0，z0)，且法向量为n={A，B，C}的平面方程为

A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)=0.

（2）　一般式：空间O　—xyz中平面方程为三元一次方程

Ax+By+Cz+D=0

(3)　截距式：在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为

xa+yb+zc=1

（4）　三点式：过空间不共线的三点{x1，y1，z1}，{x2，y2，z2}，{x3，y3，z3}的平面方程为

x－x1y－y1z－z1

x2－x1y2－y1z2－z1

x3－x1y3－y1z3－z1=0．

【注】特别地：Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面，Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面，z=0表示xOy面.

2.　直线方程

平行于直线的非零向量称为该直线的方向向量，记为s={m，n，p}，方向向量不唯一.

（1）　对称式（点向式）：过点(x0，y0，z0)且方向向量为s={m，n，p}的直线方程为

x－x0m=y－y0n=z－z0p

（2）　参数式：过点(x0，y0，z0)且方向向量为s={m，n，p}的直线参数式方程为

x=x0+mt

y=y0+nt

z=z0+pt（t为参数）

（3）　两点式：过空间不同的两点{x1，y1，z1}，{x2，y2，z2}的直线方程为

x－x1x2－x1=y－y1y2－y1=z－z1z2－z1

（4）　一般式：两平面相交且不重合构成一条直线

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0

【注】这是由两个平面相交得到的直线方程，其方向向量为S={A1，B1，C1}×{A2，B2，C2}

二、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题.

1.　平面与平面之间的关系

设有两个平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0，n1={A1，B1，C1}；

π2：A2x+B2y+C2z+D2=0，n2={A2，B2，C2}．

1）　π1//π2　??　n1//n2　??　n1×n2=0　??　A1A2=B1B2=C1C2．

2）　π1⊥π2　??　n1⊥n2　??　n1·n2=0　??　A1A2+B1B2+C1C2=0．

3）　两平面的夹角：两平面法向量的锐夹角.

也即π1与π2的夹角为n1与n2所夹的不超过π2的角，有

cosφ=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21A22+B22+C220≤φ≤π2

2.　直线与直线的位置关系

设有两条直线L1：x－x1m1=y－y1n1=z－z1p1，s1={m1，n1，p1}；

L2：x－x2m2=y－y2n2=z－z2p2，s2={m2，n2，p2}．

1）　L1//L2　??　S1//S2　??　S1×S2=0　??　m1m2=n1n2=p1p2．

2）　L1⊥L2　??　S1⊥S2　??　S1·S2=0　??　m1m2+n1n2+p1p2=0．

3）　直线与直线的夹角：两直线的方向向量的锐夹角称为这两条直线的夹角.

即L1与L2的夹角为s1与s2所夹的不超过π2的角，有

cosφ=|m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21m22+n22+p22.0≤φ≤π2

3.　直线与平面的位置关系

设有直线L：x－x0m=y－y0n=z－z0p，s={m，n，p}，

平面π：Ax+By+Cz+D=0，n={A，B，C}．

1）　L//π　??　s⊥n　??　s·n=0　??　??　Am+Bn+Cp=0．

2）　L⊥π　??　s//n　??　s×n=0　??　Am=Bn=Cp．

3)　直线与平面的夹角：直线和它在平面上投影直线的夹角φ（0≤φ＜π2）.

L与π的夹角φ有sinφ=|Al+Bm+Cn|A2+B2+C2l2+m2+n20≤φ≤π2．

三、会求点到直线以及点到平面的距离.

1.　点到平面的距离

空间一点P0(x0，y0，z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离

d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2

2.　点到直线的距离

点(x0y0，z0)到直线x－x1l=y－y1m=z－z1n的距离为

d=ijk

x1－x0y1－y0z1－z0

lmnl2+m2+n2=|{x1－x0，y1－y0，z1－z0}×{l，m，n}|l2+m2+n2

基础过关题型

【题型三】建立平面方程

【例6】设平面π过原点O以及点M(6，－3，2)，且与平面4x－y+2z=8垂直，求此平面的方程.

【详解】方法1：由于平面π过原点，故可设π的方程为Ax+By+Cz=0

由题设平面π过点M(6，－3，2)，则有6A－3B+2C=0

由平面π与4x－y+2z=8垂直，则有4A－B+2C=0

联立两方程，解得B=A，C=－32A，故A∶B∶C=1∶1∶－32=2∶2∶(－3)

所求平面方程：2x+2y－3z=0.

方法2：设所求平面的法向量为n，

向量OM??={6，－3，2}，平面4x－y+2z=8的法向量为n1={4，－1，2}

由题设知n⊥OM??，n⊥n1

所以，n=OM??×n1={6，－3，2}×{4，－1，2}=ijk

6－32

4－12={－4，－4，6}

所求平面方程：－4x－4y+6z=0，即2x+2y－3z=0.

【题型四】建立直线方程

【例7】求直线L：2x－3y+z=7

3x+2y－2=－1对称式方程.

【分析】为找直线的对称式方程，只需找到直线上一点及直线的方向向量即可.

【详解】在直线L上任找一点，可令x=0，解得y=－6，z=－11，所以(0，－6，－11)为直线L上一点.

直线L的方向向量s=n1×n2={2，－3，1}×{3，2，－1}=ijk

2－31

32－1={1，5，10}

所以，直线的对称式方程为x1=y+65=z+1110（答案不唯一）

【题型五】与平面和直线位置关系有关的问题

【例8】设直线的参数方程为L：x=t

y=2+t

z=1－2t，及平面π：4x－2y+z=0，则直线L（）.

（A）　在平面π上(B)　平行平面π，但不在平面π上

（C）　垂直平面π（D）　与平面π斜交

【详解】显然直线L的方向向量为s1={1，1，－2}，平面π的法向量为n={4，－2，1}

由于s·n=1×4+1×(－2)+(－2)×1=0

所以s⊥n，故直线L平行平面π．

又直线过点(0，2，1)，但点(0，2，1)不在平面π上，故应选（B）．

【例9】求直线L1：x－11=y－5－2=z+81和直线L2：x－y=6

2y+z=3的夹角θ

【详解】直线L1的方向向量为s1={1，－2，1}

直线L2的方向向量为s2={1，－1，0}×{0，2，1}=ijk

1－10

021={－1，－1，2}，

所求夹角θ=arccos|s1·s2||s1||s2|=arccos|3|6·6=arccos12=π3