考试要点剖析

一、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.

1．　基本概念

既有大小，又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的模.

【注】起点为M1、终点为M2的向量记为a=M1M2??

其模记为|M1M2??|或|a|；

模为1的向量称为单位向量；模为0的向量称为零向量（记为0，方向任意）

与a大小相同方向相反的向量称为a的负向量，记为－a.

2.　向量的表示

在空间直角坐标系O—xyz中，可建立向量a与三维有序数组ax，ay，az的一一对应关系，即得向量的坐标式与按基本单位向量i，j，k的分解式

a=(ax，ay，az)=axi+ayj+azk

其中i，j，k分别为与x，y，z轴正向一致的单位向量，称为基本单位坐标向量；实数ax，ay，az分别称为向量a在x，y，z轴上的投影；

【注】1）　设a=(ax，ay，az)，则|a|=a2x+a2y+a2z.

2）　设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则

M1M2??={(x2－x1)，(y2－y1)，(z2－z1)}=(x2－x1)i+(y2－y1)j+(z2－z1)k

3.　方向角

向量a与坐标轴正向的夹角α，β，γ(cosα，cosβ，cosγ称为a方向余弦).

cosα=axa2x+a2y+a2z，cosβ=aya2x+a2y+a2z，cosγ=aza2x+a2y+a2z

cos2α+cos2β+cos2γ=1.

与非零向量a同方向的单位向量：ao=1|a|{ax，ay，az}={cosα，cosβ，cosγ}.

二、掌握向量的表示及运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）

1.　向量的线性运算

设a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk

（1）　加法：以向量a=OA??，b=OB??为相邻边做平行四边形OACB，其对角线向量c=OC规定为向量a，b的和向量，记为c=a+b，向量表示为a+b={ax+bx，ay+by，az+bz}

（2）　数乘：数λ与向量a的数乘向量记为λa，规定为

向量表示为λa={λax，λay，λaz}.

◆　模：|λa|=|λ||a|

◆　方向：当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＜0时，λa=0

2.　向量的乘法运算

（1）　数量积：a与b的数量积记为a·b

1)　定义：a·b=|a|·|b|·cosθ(0≤θ≤π)(数)

2)　坐标表示式：设a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk

则a·b=axbx+ayby+azbz.

3)　两向量的夹角：

cosθ=a·b|a|·|b|=axbx+ayby+azbza2x+a2y+a2z·b2x+b2y+b2z

4）　数量积运算规律：

a·b=b·aa·(b+c)=a·b+a·c

a·a=|a|2λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)

（2）　向量积：a与b的向量积记为a×b

1)　定义：a×b为一个向量：大小：|a|·|b|·sinθ，

方向：a⊥a×b，b⊥a×b，a，b，a×b构成右手法则

结论：要找既垂直于a又垂直于b的向量可取为n=a×b

2)　向量积运算律：

a×b=－b×a（不符合交换律）a×(b+c)=a×b+a×c

λ(a×b)=(λa)×b=a×(λb)

3)　|a×b|的几何意义：以a，b为邻边的平行四边形的面积.

4)　向量积的坐标表示式：a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}，

则a×b=ijk

axayaz

bxbybz.

（4）　向量的混合积：向量a，b，c的混合积记为a，b，c

1）　定义：a，b，c=(a×b)·c

2）　运算规律：

轮换对称性：［a，b，c］=［b，c，a］=［c，a，b］.交换变号：［a，b，c］=－［c，b，a］

3）　混合积的坐标表示式：a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}c={cx，cy，cz}

则(a×b)·c=axayaz

bxbybz

cxcycz.

4）　以向量a，b，c为相邻棱的平行六面体的体积为其混合积［a，b，c］

三、了解两个向量垂直、平行的条件.

设有向量a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}c={cx，cy，cz}

（1）　平行：a//b　??　axbx=ayby=azbz.

（2）　垂直：a⊥b　??　axbx+ayby+azbz=0.

（3）　a，b，c共面的　??　axayaz

bxbybz

cxcycz=0.

基础过关题型

【题型一】向量的概念与基本运算

【例1】给定两点M(－1，0，1)和N(1，－2，0)，求NM??的坐标表示式，模，方向余弦，及与NM??平行的单位向量.

【详解】向量NM??={－2，2，1}，模|NM??|=3，

方向余弦cosα=－23，cosβ=23，cosγ=13，

与NM??平行的单位向量±NM??|NM??|=±－23，23，13.

【例2】已知|a|=2，|b|=2，且a·b=2，|a×b|=

（A）　2（B）　2（C）　22(D)　1

【详解】由于a·b=|a||b|cos(a，b)=2，而|a|=2，|b|=2，则cos(a，b)=12，从而(a，b∧)=π4.故|a×b|=|a||b|sin(a，b)=22·12=2.选(A).

【例3】设(a×b)·c=2，则［(a+b)×(b+c)］·(c+a)=.

【详解】［(a+b)×(b+c)］·(c+a)=［a×b+a×c+b×b+b×c］·(c+a)

=(a×b)·c+(a×b)·a+(a×c)·c+(a×c)·a+(b×c)·c+(b×c)·a

=(a×b)·c+(b×c)·a

=2(a×b)·c=4

【题型二】向量运算的应用及向量的位置关系

【例4】已知a={1，2，－3}，b={2，－3，a}，c={－2，a，6}，

（1）　若a⊥b，求a；（2）　若a//c，求a；（3）　若a，b，c共面，求a.

【详解】(1)　a⊥b　??　a·b=2－6－3a=0　??　a=－43.

(2)　a//b　??　1－2=2a=－36　??　a=－4.

(3)　a，b，c共面　??　12－3

2－3a

－2a6=0　??　a=－6，a=－4.

【例5】已知向量a={2，－3，－1}，b={1，－2，－3}，c={1，－2，－7}，若d⊥a，d⊥b，d·c=10，求d的坐标表示式.

【详解】由于d⊥a，d⊥b，故d可取为

λ(a×b)=λijk

2－3－1

1－2－3=7λi+5λj－λk=7λ，5λ，－1λ.

又d·c=10，则7λ－10λ+7λ=10解得λ=52，所以d=527，5，－1.