考试要点剖析

【大纲要求】了解Fourier级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在[－l,l］上的函数展开为Fourier级数,会将定义在[0,l］上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出Fourier级数的和的表达式.

一、基本概念

1.　周期为2π的Fourier级数

若函数f(x)是周期为2π的函数,则

a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx)

其中an=1π∫π－πf(x)cosnxdx,bn=1π∫π－πf(x)sinnxdxn=0,1,2,…称为f(x)的以2π为周期的Fourier级数.an,bn称为傅里叶系数

记为f(x)~a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx).

【概念理解点拨】(1)　根据周期函数的性质：

an=1π∫a+2πaf(x)cosnxdx,bn=1π∫a+2πaf(x)sinnxdx

(2)　根据奇偶函数的性质

当f(x)是奇函数时,f(x)~∑∞n=1bnsinnx；(正弦级数)

当f(x)是偶函数时,f(x)~a02+∑∞n=1ancosnx(余弦级数)

二、狄利克雷收敛定理

设函数f(x)是周期为2π的可积函数,且满足

(1)　f(x)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

(2)　f(x)在一个周期内至多有有限个极值点

则f(x)的以2π为周期的Fourier级数是收敛,且和函数S(x)满足

S(x)=f(x),x是f(x)的连续点，

f(x－0)+f(x+0)2,x是f(x)的间断点，

f(－π+0)+f(π－0)2,x=±π.

三、函数展开成傅里叶级数

【情形1】设以

2l为周期的周期函数

f(x)在

[-l,l]上可积，则

f(x)的傅里叶级数为

f(x)~a02+∑∞n=1ancosnπxl+bnsinnπxl．

其中系数

an=1l∫l－lf(x)cosnπxldx，bn=1l∫l－lf(x)sinnπxldx(n=0,1,2…)

【例9.13】设f(x)是周期为2π的周期函数，且在一个周期内的表达式f(x)=－1,－π