考试要点剖析
一、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及关系，掌握计算两类曲线积分的方法.
1. 对弧长的线积分（第一类曲线积分）
?? 定义：设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数f(x，y)在上L有界，在L上任意插入n－１个点Ｍ１，Ｍ２，…，Ｍn－１把Ｌ分成n个小段，设第i个小弧段的长度为Δsi，又（ξi，ηi）为i个小段上任意取定的一点，作乘积，并作和∑ni＝１f(ξi，ηi)Δsi，如果当各小弧段长度的最大值λ→０时，这和的极限总存在且唯一，则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作∫Ｌf(x,y)ds，即∫Ｌf(x,y)ds＝limλ→０∑ni＝１f(ξi，ηi)Δsi，类似地可定义∫Ｌf(x,y,z)ds＝limλ→０∑ni＝１f(ξi，ηi，ζi)Δsi（空间曲线）
?? 性质:(1) ∫L［k1f(x，y)±k2g(x，y)］ds=k1∫Lf(x，y)ds±k2∫Lg(x，y)ds
(2) ∫L=L1+L2f(x，y)ds=∫L1f(x，y)ds+∫L2f(x，y)ds；
(3) ∫Lds=L的长度，∫Γds=Γ的长度.
?? 计算：
1) 直接法
(1) 若L：x=x(t)
y=y(t)，α≤t≤β，则∫Lf(x，y)ds=∫βαf[x(t)，y(t)]x′2(t)+y′2(t)dt
(2) 若L：y=y(x)，a≤x≤b，则∫Lf(x，y)ds=∫baf[x，y(x)]1+y′2(x)dx
(3) 若L：ρ=ρ(θ)，α≤θ≤β，则∫Lf(x，y)ds=∫βαf(ρcosθ，ρsinθ)ρ2+ρ′2dθ
2) 利用奇偶性与对称性
(1) 若积分曲线L关于y轴对称，则
∫Lf(x，y)ds=2∫Lx≥0f(x，y)ds
0，f(x，y)关于x是偶函数
f(x，y)关于x是奇函数
(2) 若积分曲线L关于x轴对称，则
∫Lf(x，y)ds=2∫Ly≥0f(x，y)ds
0，f(x，y)关于y是偶函数
f(x，y)关于y是奇函数
（3） 若积分曲线L关于直线y=x对称，则∫Lf(x，y)ds=∫Lf(y，x)ds，
特别地∫Lf(x)ds=∫Lf(y)ds
【注】对空间线积分∫Lf(x，y，z)ds，通常化为定积分计算，即设曲线L的方程为
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)(α≤t≤β)，则
∫Lf(x，y，z)ds=∫βαf[x(t)，y(t)，z(t)]x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)dt
2. 对坐标的线积分(第二类线积分)
?? 定义：设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x，y)，Q(x，y)在L上有界，在L上沿L的方向任意插入点Ｍ１（x１，y１，），Ｍ２（x２，y２），…，Ｍn－１（xn－１，yn－１）把L分成n个有向小弧段
Ｍi－１Ｍi（i＝１，２，…，n；Ｍ０＝Ａ，Ｍn＝Ｂ），
设Δxi=xi－xi－1，Δyi=yi－yi－1，点(ξi，ηi)为Mi－1Mi上任意取定的点.如果当各小弧段长度的最大值λ→0时，∑ni=1P(ξi，ηi)Δxi极限总存在且唯一，则称此极限值为函数P(x，y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作∫ＬＰ（x，y）dx．类似地，如果极限limλ→０∑ni＝１Ｑ（ξi，ηi，ζi）Δyi总存在且唯一，则称此极限值为函数Q(x，y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记作∫ＬＱ（x,y）dy，即
∫LP(x，y)dx=limλ→0∑ni=1P(ξi，ηi)Δxi，∫LQ(x，y)dx=limλ→0∑ni=1Q(ξi，ηi)Δyi，
其中Ｐ（x,y）、Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段.
一般地，∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy=∫LP(x，y)dx+∫LQ(x，y)dy.
上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧Γ的.
∫ＬＰ（x,y）dx+Q(x,y)dy+R(x,y,z)dzΔ∫ＬＰdx＋∫ＬＱdy＋∫ＬＲdz
?? 性质:(1) ∫L=L1+L2Pdx+Qdy=∫L1Pdx+Qdy+∫L2Pdx+Qdy
(2) ∫－LPdx+Qdy=－∫LPdx+Qdy（与积分路径方向有关）
?? 计算方法(平面)
1) 直接法
设L：x=x(t)
y=y(t)，t∈［α，β］，曲线L的起点和终点分别对应参数t=α和t=β，则
∫LPdx+Qdy=∫βα{P[x(t)，y(t)]x′(t)+Q[x(t)，y(t)]y(t)}dt
2） 格林公式
设有界闭区域D由分段光滑曲线L围成，L取正向，函数P(x，y)、Q(x，y)在D有一阶连续偏导数，则∫LPdx+Qdy=??D??Q??x－??P??ydxdy．
【注】（1） 关于区域Ｄ的正向边界：当某人沿逆时针方向行走，区域恒在人的左边.若为负方向，则二重积分符号为负.
（2） 关于单连通与复连通区域．区域①为单连通；区域②、③为复连通．复连通区域Ｄ上的格林公式．
∫Ｃ１Ｐdx＋Ｑdy＋∫Ｃ２Ｐdx＋Ｑdy＝??Ｄ??Ｑ??x－??Ｐ??ydxdy，Ｌ＝Ｃ１ＹＣ２.
（3） （挖洞法）若函数P(x，y)、Q(x，y)在Ｄ内上不具有一阶连续偏导数，则应设法通过一条封闭曲线将一阶偏导数不连续的点挖掉，而这条封闭曲线一般由被积表达式分母为充分小的常数来确定.
（4） 若取Ｐ＝－y，Ｑ＝x，则Ｌ所围成的区域Ｄ的面积
Ｓ＝１２??Ｄ??Ｑ??x－??Ｐ??ydxdy＝１２∮Ｐdx＋Ｑdy
3) 补线用格林公式
Ｉ＝∮Ｌ＋Ｌ??Ｐdx＋Ｑdy－∫Ｌ??Ｐdx＋Ｑdy
【注】若曲线Ｌ非闭合，但??Ｑ??x－??Ｐ??y较为简单时，则可考虑补一段直线段Ｌ??（一般为平行坐标轴的线段），使Ｌ＋Ｌ??成为闭曲线，再应用格林公式，一定要注意方向！
4) 利用线积分与路径无关
设开区域Ｇ是一个单连通域，函数P(x，y)、Q(x，y)在Ｇ内具有一阶连续偏导数，则在Ｇ内以下命题等价：
（1） ∫ＬＰdx＋Ｑdy在Ｇ内与路径Ｌ无关，只与Ｌ的起点和终点有关.
（2） 对Ｇ内任一分段光滑有向闭曲线Ｌ，∮ＬＰdx＋Ｑdy＝０；
（3） 在Ｇ内恒有??Ｑ??x＝??Ｐ??y，??（x,y）∈Ｇ；
（4） Ｐdx＋Ｑdy在Ｇ内是某二元函数u（x,y）的全微分，即在Ｇ内存在u（x,y），使
du＝Ｐdx＋Ｑdy或??u??x＝Ｐ，??u??y＝Ｑ
（5） 向量Ｐi＋Ｑj在Ｇ内是某二元函数u（x,y）的梯度，即在Ｇ内存在u（x,y），使
du＝Ｐdx＋Ｑdy或??u??x＝Ｐ，??u??y＝Ｑ
（6） P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0为全微分方程
则u（x,y）＝∫（x,y）x０，y０Ｐ（x,y）dx＋Ｑ（x,y）dy＝∫xx０Ｐ（x,y０）dx＋∫yy０Ｑ（x,y）dy，
或u(x,y)＝∫yy０Ｑ（x０，y）dy＋∫xx０Ｐ（x,y）dx
此时，也称u(x，y)为的P(x，y)dx+Q(x，y)dy一个原函数.
全微分方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的通解为u(x，y)=C，其中C为任意常数.
当曲线积分∫ＬＰdx＋Ｑdy在Ｇ内与路径Ｌ无关时，也记
I=∫LPdx+Qdy=∫BAPdx+Qdy=∫(xB，yB)(xA，yA)Pdx+Qdy
其中(xA，yA)，(xB，yB)分别是Ｌ的起点和终点的坐标，若u(x，y)为∫ＬＰdx＋Ｑdy的一个原函数，则
I=∫(xB，yB)(xA，yA)Pdx+Qdy=u(x，y)(xB，yB)(xA，yA)=u(xB，yB)－u(xA，yA)
3. 两类线积分的联系∮LPdx+Qdy=∮L(Pcosα+Qcosβ)ds.
若平面有向曲线弧L上任一点处（x,y）与L同方向的切线的方向余弦为cosα，cosβ，则ds＝｛dx，dy｝＝dxds，dydsds＝｛cosα，cosβ｝ds＝τds，于是
∫LFds＝∫ＬＰdx＋Ｑdy＝∫Ｌ（Ｐcosα＋Ｑcosβ）ds＝∫ＬＦ·τ０ds．
利用上述关系可将两类曲线积分相互转化，其关键是求出曲线Ｌ上任一点处与Ｌ方向一致的切线向量的单位向量
τ０．
基础过关题型
【题型二】计算对弧长的线积分
【例5】计算I=∫Lyds，其中Ｌ是抛物线y=x2上点O(0，0)与点B(1，1)之间的一段弧．
【详解】由于Ｌ的方程为y=x2(0≤x≤1)
因此I=∫Lyds=∫10x21+(x2)′2dx=∫10x1+4x2dx
=112(1+4x2)3210=112(55－1)
【例6】计算I=∮L(x+y)2+1ds，其中Ｌ；x2+y2=a2(a＞0)．
【详解】I=∮L［(x+y)2+1］ds=∮L［x2+y2+2xy+1］ds，因为Ｌ关于x轴对称，2xy关于y成奇函数，所以∮L2xyds=0，故I=∮L(x2+y2+1)ds
方法1：I=∮L(a2+1)ds=(a2+1)∮Lds=(a2+1)2πa
方法2：Ｌ的参数方程为，所以x=cost，y=sint，t∈［0，2π］，所以
I=∫2π0(a2cos2t+a2sin2t+1)(－asint)2+(acost)2dt
=∫2π0(a2+1)adt=2πa(a2+1)
【题型三】计算对坐标的线积分
【例7】求∫L(x2－2xy)dx+(y2－2xy)dy，其中L是抛物线y=x2上从点A(－1，1)到点B(1，1)的一段弧.
【详解】∫L(x2－2xy)dx+(y2－2xy)dy=∫1－1［(x2－2x3)+(x4－2x3)2x］dx=－1415
【例8】设L为椭圆4x2+y2=8x沿逆时针方向，则∮L(ey2)dx+(x+y2)dy=．
【详解】由格林公式得∮L(ey2)dx+(x+y2)dy=??D(1－2yey2)dσ=??Ddσ=S，其中D是由4x2+y2=8x围成的椭圆域，S为其面积，该椭圆方程可改写为(x－1)2+y24=1，则其面积S=2π，故∮Ley2dx+(x+y2)dy=2π．
【例9】求∫L(x2－y)dx+(x+sin2y)dy，其中L是圆周y=2x－x2上由点O(0，0)到点A(1，1)的一弧.
【分析】本题积分曲线方程为y=2x－x2，若按直接法做积分是相当麻烦的，故考虑用格林公式来做，但由于曲线不封闭，故应先补线再用格林公式.
【详解】取点B(1，0)，补直线段BA??，BO??，此时弧OA与BA??，BO??构成以封闭曲面，其方向为顺时针方向.由格林公式：
∮L+AB+BO(x2－y)dx+(x+sin2y)dy=－??D2dxdy=－π2
∫L(x2－y)dx+(x+sin2y)dy
=－π2－∫AB(x2－y)dx+(x+sin2y)dy－∫BO(x2－y)dx+(x+sin2y)dy
=－π2+∫10(1+sin2y)dy+∫10x2dx=－π2+116－14sin2.
【例10】计算∮Lxdy－ydxx2+y2，其中L是一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向.
【分析】不经过原点，曲线构成的区域，有可能包含原点，也有可能不包含原点，应注意原点为被积函数的奇点（一阶偏导数不连续的店），若用格林公式求解，应设法把奇点挖去.
【详解】令P(x，y)=－yx2+y2，Q(x，y)=xx2+y2
则??Q??x=y2－x2(x2+y2)2=??P??y[(x，y)≠(0，0)]，记L围成的区域为D
（1） 当(0，0)??D时，∮Lxdy－ydxx2+y2=??D??Q??x－??P??ydσ=0
(2) 当(0，0)∈D时，取l：x2+y2=r2(r较小)，顺时针.
∫L+lPdx+Qdy=??D1??Q??x－??P??ydσ=0
∫Lxdy－ydxx2+y2=∮L+lxdy－ydxx2+y2－∮lxdy－ydxx2+y2=－∮lxdy－ydxx2+y2
=－1r2∮lxdy－ydx=1r2??D2dσ=2π.
【例11】(1)验证曲线积分∫L(x+y)dx+(x－y)dy在全平面内与路径无关；
（2） 求(x+y)dx+(x－y)dy的一个原函数
(3) 计算I=∫(2，3)(1，1)(x+y)dx+(x－y)dy
【详解】(1) 令P=x+y，Q=x－y，则，??Q??x=??P??y=1，且??Q??x，??P??y处处连续，故该曲线积分在全平面内与路径无关.
（2） 方法1：（利用路径无关）由（1）知曲线积分∫L(x+y)dx+(x－y)dy在全平面内与路径无关
取(x0，y0)=(0，0)，则
u(x，y)=∫x0(x+0)dx+∫y0(x－y)dy=12x2+xy－12y2
方法2：（利用凑微分）(x+y)dx+(x－y)dy=xdx+(ydx+xdy)－ydy=d12x2+d(xy)－d12y2=d12x2+xy－12y2
可取u(x，y)=12x2+xy－12y2
方法三（利用偏积分）：由于??u??x=x+y，故u(x，y)=∫??u??xdx=12x2+xy+C(y)
又??u??y=x+C′(y)=x－y，所以，C′(y)=－y，可取C(y)=－12y2
因而，u(x，y)=12x2+xy－12y2
（3） 方法1：（原函数法）I=∫(2，3)(1，1)(x+y)dx+(x－y)dy=u(x，y)(2，3)(1，1)
=12x2+xy－12y2(2，3)(1，1)=52
方法2：（改换路径法）设A(1，1)，B(2，3)，再取一点C(2，1)，B点为(1，0)点
原式=∫AC(x+y)dx+(x－y)dy+∫CB(x+y)dx+(x－y)dy
=∫21(x+1)dx+∫31(2－y)dy=12x2+x21+2y－12y221=52
【注】也可将路径改换为另一折线AC，CB，其中C(1，3)，可得相同结果.