考试要点剖析

一、理解常数项级数收敛,发散及收敛级数的和的概念;掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;掌握几何级数与P－级数的收敛与发散条件;

1.　级数与部分和的概念

设{un}是一个数列,则称表达式∑∞n=1un=u1+u2+u3+…为一个数项级数，简称级数.un称为数项级数的通项,Sn=∑nk=1uk称为数项级数的前n项部分和,简称部分和.

2.　级数的收敛与发散

对级数∑∞n=1un,令Sn=u1+u2+…+un,若limn→∞Sn=S,则此级数∑∞n=1un收敛,其和为S

即∑∞n=1un=limn→∞Sn=limn→∞∑nk=1uk=S.若limn→∞sn不存在,则称∑∞n=1un发散.

【注】1）　利用级数的部分和数列{

Sn}，把研究级数收敛问题转化为其部分和数列收敛问题.

2）　un=Sn-Sn-1

【例9.1】判断下列级数的敛散性,若收敛求该级数的和数

(1)　∑∞n=11n(n+1)，(2)　∑∞n=11n+n+1

【解析】（1）　un=1n(n+1)=1n－1n+1

Sn=1－12+12－13+…+1n－1n+1=1－1n+1=1－1(n+1)2

limn→∞Sn=limn→∞1－1n+1=1=1，原级数收敛，且其和为1.

（2）　un=1n+n+1=n+1－n

Sn=(2－1)+(3－2)+…+(n+1－n)=n+1－1

limn→∞Sn=limn→∞（n+1－1)=∞，原级数发散

3.　收敛级数的性质

(1)　数乘若级数∑∞n=1un收敛,k是任意实数,则级数∑∞n=1kun收敛,且∑∞n=1kun=k∑∞n=1un

(2)　加法若级数∑∞n=1un,∑∞n=1vn均收敛,则级数∑∞n=1(un+vn)收敛,且

∑∞n=1(un+vn)=∑∞n=1un+∑∞n=1vn

(3)　改变级数∑∞n=1un的任意有限项的值不影响其敛散性.

(4)　重组收敛级数加括号后所形成的级数仍收敛,且和的值不变.

【评注】注意此性质的反面并不成立,即一个级数加括号所形成的级数收敛并不能保证原级数收敛.

但加括号后所形成的级数发散就能推出原级数发散;

(5)　级数收敛的必要条件:若级数∑∞n=1un收敛,则limn→∞un=0.

【评注】1）　级数

∑∞n=1un收敛

??　极限

limn→∞Sn存在

??　limn→∞un=limn→∞(Sn-Sn-1)=0即

limn→∞un=0

2）　limn→∞un=0,则∑∞n=1un不一定收敛;但limn→∞un≠0,则∑∞n=1un发散.

【例9.2】证明调和级数∑∞n=11n发散.

【解析】（反证法）假设级数∑∞n=11n收敛，设它的部分和为

Sn，且Sn→S（n→∞)，显然对级数∑∞n=11n的部分和S2n，也有S2n→S（n→∞)，于是

S2n－Sn→S－S=0（n→∞)

但另一方面S2n－Sn=1n+1+1n+2+…+1n+n12n+12n+…+12n=12≠0

故S2n－Sn0（n→∞)，故假设不成立，所以级数∑∞n=11n发散

【例9.3】讨论几何级数∑∞n=0aqn敛散的条件

【解析】如果q≠1，则部分和

Sn=a+aq+…+aqn－1=a－aqn1－q=a1－q－aqn1－q

当|q|