考试要点剖析
一、理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.
1． 二阶常系数线性微分方程的定义
非齐次线性微分方程的形式：y″+ay′+by=f(x)(1)
齐次线性微分方程的形式：
y″+ay′+by=0(2)
其中，
a是
b已知常数，右端项f(x)是已知函数．当f(x)≡0时，方程称为齐次的，否则，方程称为非齐次的．
2． 二阶常系数线性微分方程的解的结构
（1） 齐次线性微分方程解的结构
1） 若y1(x)和
y2(x)是齐次方程（2）的两个解，则
C1y1(x)+C2y2(x)也是该方程的解.
2） 若y1(x)和y2(x)是齐次方程（2）的两个线性无关的解即y2(x)y1(x)≠k，则C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解.
（2） 二阶常系数线性非齐次微分方程通解结构定理
1） 若y1(x)，y2(x)是方程y″+ay′+by=f(x)的两个相异的解，则y(x)=y2(x)-y1(x)是对应齐次方程y″+ay′+by=0的一个解.
2） 若y*(x)，y(x)分别是方程y″+ay′+by=f(x)和y″+ay′+by=0的解，则y*(x)+y(x)是方程y″+ay′+by=f(x)的解.
3） 若y1(x)和y2(x)是对应齐次方程y″+ay′+by=0的两个线性无关的解，y*是非齐次方程的一个特解，则方程y″+ay′+by=f(x)的通解是y=C1y1(x)+C2y2(x)+y*，C1,C2是两个任意常数．
基础过关题型
【题型三】线性微分方程解的性质结构判定
【例8】设y1=3,y2=3+x2,y3=3+x2+ex都是二阶非齐次微分方程的解，求该方程的通解.
【解析】由解的结构知该二阶齐次线性微分方程的解为：
y2－y1=x2，y3－y2=ex，又x2ex≠常数，
故所求非齐次的通解为：y=C1x2+C2ex+3.
【例9】设非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有两个的解y1(x),y2(x),C为任意常数,则该方程通解是().
(A) C[y1(x)－y2(x)](B) y1(x)+C[y1(x)－y2(x)]
（C） C[y1(x)+y2(x)]（D） y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]
【解析】线性方程解的性质与结构：
1. 由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通解；
2. 线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.
因为y1(x)≠y2(x)，所以(y1(x)－y2(x))是齐次微分方程的一个非零解，C是任意常数，所以C(y1(x)－y2(x))是对应的齐次微分方程的通解.再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解.
考试要点剖析
二、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
1. 求解二阶常系数线性齐次微分方程——特征法
二次方程λ2+aλ+b=0称为二阶常系数线性微分方程
y″+ay′+by=f(x)的特征方程，它的两个根
λ1，
λ2称为特征根．按照特征根的不同情况，可得齐次方程
y″+ay′+b=0两个线性无关的解，如下表．
特征根线性无关二解微分方程通解
实根λ1≠λ2eλ1x,eλ2xy=C1eλ1x+C2eλ2x
实根λ1=λ2eλ1x,xeλ1xy=(C1+C2x)eλ1x
复根α±iβeαxcosβx,eαxsinβxy=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
2. 高阶常系数线性微分方程及其解法
形如y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y′+any=0的方程称为高阶常系数线性微分方程（数一，二）.
(1) 特征方程为：
λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0
(2) 解的结构
1） 若特征方程有n个相异实根λ1,λ2,…，λn，则微分方程通解为
y=C1eλ1x+C2eλ2x+…+Cneλnx
2） 若
λ0是特征方程的
k重根，则通解中含有
(C1+C2x+…+Ckxk-1)eλ0x
3） 若
α±βi是特征方程的
k重根，则通解中含有
eαx[(C1+C2x+…+Ckxk-1)cosβx+(D1+D2x+…+Dkxk-1)sinβx]
基础过关题型
【题型四】齐次线性微分方程求解
【例10】求下列齐次微分方程的通解
(1) y″－2y′+y=0(2) y″－2y′+5y=0(3) y（4)－5y??+6y″=0
【解析】
(1) 特征方程为：r2－2r+1=0 ?? r1=r2=1.所求通解为y=C1ex+C2xex.
(2) 特征方程为：r2－2r+5=0 ?? r1,2=1±2i.所求通解为y=C1excos2x+C2exsin2x.
(3) 特征方程为：r4－5r3+6r2=0 ?? r1=r2=0,r3=2,r4=3.
所求通解：y=C1+C2x+C3e2x+C4e3x.
考试要点剖析
三、会解自由项为多项式,指数函数,正弦函数,余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
二阶常系数线性非齐次微分方程的待定系数法
当f(x)是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与乘积时，可根据
f(x)的形式选取适当形式的特解，然后代入非齐次方程并确定特解中的待定系数，即可求得所需的一个特解．
1） 若
f(x)=Pm(x)erx，其中Pm(x)是一个
x的
m次多项式，
r是一个实数，则可按照下表选取特解：（其中Qm(x)是系数待定的
m次多项式）
f(x)=Pm(x)erx,令
y*=xkQm(x)erx,
k等于
r作为特征方程根的重数.
f(x)r与特征根
λ1，
λ2的关系特解
y*的形式
Pm(x)erxr≠λ1，r≠λ2Qm(x)erx
Pm(x)erxr=λ1，
r≠λ2xQm(x)erx
Pm(x)erxr=λ1，
r=λ2x2Qm(x)erx
【注】若非齐次项
f(x)=Pm(x)，只需把它看成
f(x)=Pm(x)erx，且
r=0的情形即可．
2）
f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pm(x)sinβx]
令y*=xkeαx[Qn(x)cosβx+Wn(x)sinβx],n=max{l,m}
若
f(x)=erx(Mcosωx+Nsinωx)，其中M,N,r,ω都是实数，且ω0．
特解的取法如下表：（其中A,B是两个待定的常数）
f(x)r±iω与特征值的关系特解y*的形式
erx(Mcosωx+Nsinωx)r±iω不是特征根erx(Acosωx+Bsinωx)
erx(Mcosωx+Nsinωx)r±iω是特征根xerx(Acosωx+Bsinωx)
【注】若非齐次项
f(x)=Mcosωx+Nsinωx，只需看成f(x)=erx(Mcosωx+Nsinωx)，且r=0的特殊情形即可．另外，无论系数M与N中是否有等于零的，在特解y中仍应当假设包含两个待定系数
A与B．
基础过关题型
【题型五】非齐次线性微分方程特解的设法
【例11】写出下列方程的特解形式
(1) y″+2y′+y=xex;(2) y″+2y′+y=xe－x
(3) y″+y=x2(4) y″+y′=x2
(5) y″+y=4xcosx(6) y″+y=x+cosx
(7) y″－2y′－3y=x+xe－x+excos2x
【解析】(1) 解特征方程得特征根λ1=λ2=－1，f(x)=Pm(x)erx=xex
r=1不是特征根，故特解可设为y*=(ax+b)ex.
(2) 解特征方程得特征根λ1=λ2=－1，f(x)=Pm(x)erx=xe－x
r=－1是二重特征根，故特解可设为y*=x2(ax+b)e－x.
(3) 解特征方程得特征根λ1,2=±i，f(x)=Pm(x)erx=x2e0x
r=0不是特征根，故特解可设为y*=ax2+bx+c.
(4) 解特征方程得特征根λ1=0,λ1=－1，f(x)=Pm(x)erx=x2e0x
r=0为特征方程的单根，故特解可设为y*=x(ax2+bx+c).
(5)解特征方程得特征根λ1,2=±i，
f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]=e0x[4xcosx+0sinx]
α±βi=0±i为特征方程的根，故特解可设为y*=x[(a1x+b1)cosx+(a2x+b2)sinx］.
(6) 原方程可拆为y″+y=x与y″+y=cosx
解特征方程得特征根λ1,2=±i，
对y″+y=x，f(x)=Pm(x)erx=xe0x
r=0不是特征根，故特解可设为y1*=ax+b
对y″+y=cosx，f(x)=eαx[Mcosβx+Nsinβx]=e0x[cosx+0sinx]
α±βi=0±i为特征方程的根，故特解可设为y2*=x(Acosx+Bsinx).
由解的叠加原理，故特解可设为y*=(ax+b)+x(Acosx+Bsinx).
(7) 原方程可拆为y″－2y′－3y=x，y″－2y′－3y=xe－x，y″－2y′－3y=excos2x
解特征方程得特征根λ1=3,λ2=－1，
对y″－2y′－3y=x，f(x)=Pm(x)erx=xe0x
r=0不是特征根，故特解可设为y1*=Ax+B
对y″－2y′－3y=xe－x，f(x)=Pm(x)erx=xe－x
r=－1是单特征根，故特解可设为y2*=x（Cx+D)e－x
对y″－2y′－3y=excos2x，f(x)=eαx[Mcosβx+Nsinβx]=ex[cos2x+0sin2x]
α±βi=1±2i不是特征根，故特解可设为y*3=ex(Ecos2x+Fsin2x).
由解的叠加原理，原方程特解可设为y*=Ax+B+x(Cx+D)e－x+ex(Ecos2x+Fsin2x).
【题型六】非齐次线性微分方程求解
【例12】求微分方程y″－3y′+2y=2xex的通解
【解析】先求方程y″－3y′+2y=0的通解
由特征方程λ2-3λ+2=0解得特征根λ1=1,λ2=2
所以方程y″－3y′+2y=0的通解为yc=C1ex+C2e2x
下求y″－3y′+2y=2xex的特解：设特解为y*=x(ax+b)ex，则
（y*)′=（ax2+2ax+bx+b)ex，（y*)″=（ax2+4ax+bx+2a+2b)ex
带入原方程，解得a=－1,b=－2，故特解为y*=x(－x－2)ex
故方程的通解为y=yc+y*=C1ex+C2e2x－x(x+2)ex
【例13】求微分方程y″+y=xcos2x的解.
【解析】先求方程y″+y=0的通解
由特征方程λ2+1=0，解得特征根λ1,2=±i
所以方程y″+y=0的通解为yc=C1cosx+C2sinx
由于f(x)=xcos2x=e0x[xcos2x+0sin2x]
0+2i不是特征方程的根.
故可设特解为y*(x)=(a1x+b1)cos2x+(a2x+b2)sin2x，求二阶导后代入方程得：
(4a2－4b1－4a1+a1－x)cos2x+(－4a1－4a2－4b2)sin2x=0.
4a2－4b1－4a1+a1－x=0
－4a1－4a2－4b2=0 ?? －4a1－1=0
4a2－4b1+a1=0
－4a1－4b2=0
－4a2=0
解得a1=－14，a2=0，b1=－116，b2=14
故y*(x)=－14x－116cos2x+14sin2x为所求特解.
故原方程的通解为y(x)=C1cosx+C2sinx+－14x－116cos2x+14sin2x
【题型七】已知通解反求微分方程
【例14】求函数y=C1cos2x+C2sin2x满足的二阶线性常系数齐次方程.
【解析】（方法1）由解的结构知此齐次方程的特征根为λ1,2=±2i
故特征方程λ2+4=0，所以齐次方程为y″+4y=0.
（方法2）y=C1cos2x+C2sin2x
y′=－2C1sin2x+2C2cos2x
y″=－4C1cos2x－4C2sin2x消去C1,C2得：y″+4y=0.
【例15】已知y1=xex+e2x,y2=xex+e－x,y3=xex+e2x－e－x是某二阶线性非齐次方程的三个解,求其通解及其微分方程.
【解析】利用解的结构求解,
(1)
y3-y1=e-x为齐次方程的一个特解，
λ1=-1;
(2) y2+e-x=xex为非齐次方程的一个特解;
(3)
y1-xex=e2x为齐次方程的一个特解,
λ2=2
所以，
(r+1)(r-2)=0 ?? y″-y′-2y=0
设
y″-y′-2y=f(x)将
xex代入此方程，
解得
y″-y′-2y=ex(1-2x)
【附录】（数一、数三单独要求部分）
一、会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程，会解欧拉方程.（数一）.
1. 伯努利方程
形如y′+p(x)y=Q(x)yn的一阶微分方程称为伯努利方程.
当n=0时，是一阶线性非齐次微分方程；
当n=1时，是一阶线性齐次微分方程；
当n≠0,n≠1时，引入新的未知函数u=u(x)，使得u=y1－n，则伯努利方程
y′+p(x)y=Q(x)yn
变为dzdx+(1－n)P(x)z=(1－n)Q(x)，
其通解为
z=e－(1－n)∫p(x)dx∫(1－n)Q(x)e(1－n)∫p(x)dxdx+C
即
y1－n=e－(1－n)∫p(x)dx∫(1－n)Q(x)e(1－n)∫p(x)dxdx+C
2. 全微分方程（也可在学完曲线积分后再复习本部分）
一般形式:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，其实M,N满足
??N??x=??M??x.①
解析：在条件①下,一定存在原函数u(x,y),使得du=Mdx+Ndy,从而方程的通解公式由u(x,y)=C(任意常数)给出.有两种方法求原函数u(x,y).
(1) 不定积分法:由于??N??x=M,积分得u(x,y)=∫M(x,y)dx+p(y),(其中p(y)待定);又因为??N??x=N,于是N(x,y)=∫M(x,y)dx+p′(y),由此求出p′(y),积分后即可确定p(y),从而得到u(x,y)的表达式.
(2) 在条件①下，选择特殊的积分路径,可求得
u(x,y)=∫xx0M(x,y0)dx+∫yy0N(x,y)dy
或u(x,y)=∫yy0M(x0,y)dx+∫xx0N(x,y)dy，
其中(x0,y0)视其方便程度和M,N的定义域事先选定.
3. 欧拉方程
1) 定义：形如
xny(n)+a1x(n-1)y(n-1)+an-1xy′+any=f(x)的方程称为欧拉方程，其中a1,a2,…,an为常数
2) 解法：令
x=et，有
xy′=dydt,x2y*=d2ydt-dydt，…原方程可化为以
t为自变量的
n阶常系数线性方程，求出通解后，再把变量
t=lnx回代即可
特别地：令
x=et，二阶欧拉方程
x2y″+pxy′+qy=f(x)
化为二阶常系数线性方程
d2ydt2+(p-1)dydt+qy=f(et)
4. 可用简单的变量替换求解的某些微分方程
一般来说,如果方程中出现f(xy),f(ax+by+C),f(ax2+by2),fyx和fxy等项时，通常做相应的变换u=xy,ax+by+C,ax+by,yx和xy等,化为可求解方程的类型.
【例1】求xy′+2y=3x3y43的通解.
【解析】此为伯努利方程y′+2xy=3x2y43，变形y－43y′+2xy－13=3x2
令z=y－13得dzdx－23xz=－x2,z=e∫23xdx·∫－x2e－∫23xdxdx+c=x23－37x73+C
故y－13=x23－37x73+C
【例2】求dydx=yyx2lny－x的通解.
【解析】方程变形为dxdy=x2lny－1yx，进一步变形dxdy+1yx=x2lny
此为伯努利方程
1x2dxdy+1yx－1=lny，令x－1=z得dzdy－1yz=－lny一阶线性方程
【例3】求（5x4+3xy2－y3)dx+（3x2y－3xy2+y2)dy=0的通解.
【解析】??P??y=6xy－3y2??Q??x=6xy－3y2故为全微分方程
u(x,y)=∫(x,y)(0,0)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫x05x4dx+∫y0(3x2y－3xy2+y2)dy
x5+32x2y2－xy3+13y3=C
通解为x5+32x2y2－xy3+13y3=C
【例4】设函数f(x)具有二阶连续导数f（0)=0.f′（0)=1且
[xy（x+y)－f(x)y］dx+[f′(x)+x2y］dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的解.
【解析】由全微分方程的条件知????y[xy(x+y)－f(x)y］=????x[f′(x)+x2y］
?? f″(x)+f(x)=x2
f(0)=0f′(0)=1
?? f(x)=2cosx+sinx+x2－2
通解：12x2y2+2xy+y(cosx－2sinx)=C
【例5】求解微分方程x2y″－2xy′+2y=x3lnx
【解析】此为欧拉方程；令x=et，得xy′=dydt，x2y″=d2ydt2－dydt
所以原方程化为d2ydt2－3dydt+2y=te3t，
解得y=c1et+c2e2t+12t－32e3t=c1x+c2x2+12x3lnx－32
【例6】求xdydx+x+sin(x+y)=0的解.
【解析】根据方程特点，可作变量代换令x+y=u ?? dydx=dudx－1代入原方程
xdudx－x+x+sinu=0 ?? 1sinudu=－1xdx
?? ln|cscu－cotu|=－ln|x|+C， ?? x(csc(x+y)－cot(x+y))=C
二、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．会用微分方程求解简单的经济应用问题（数三）．
1. 差分方程解的结构
1） 一阶常系数线性齐次差分方程
yt+1+ayt=0(1)
通解为yc(t)=Cγ(-a)t其中C为任意常数.
2） 一阶常系数线性非齐次差分方程
yt+1+ayt=f(t)(2)
其中f(t)为已知函数，a为非零函数.y??是非齐次方程的一个特解，yc（t)是齐次差分方程的通解,则非齐次方程差分方程的通解为yt=yc(t)+y*t
【注】若yt与yt分别是差分方程yt+1+ayt=f1(t)和yt+1+ayt=f1(t)的解，则yt+yt是差分方程yt+1+ayt=f1(t)+f2(t)的解.
2. 非齐次差分方程的特解形式
(1) f(t)=Pm(t)
① 若a≠-1,令y*t=Qm(t)；
② 若a=-1,令y*t=tQm(t)
(2) f(t)=dtγPm(t),(d≠0)
① 若a+d≠0,令y*t=dtγQm(t)；
② 若a+d=0,令y*t=tdtγQm(t).
【例7】差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为.
【解析】原方程的一般形式为yt+1+5yt=52t
其对应的齐次方程为yt+1+5yt=0.
其通解为yc(t)=C(-5)′(C为任意常数).
因为f(t)=52t是t的一次多项式,且a=5≠-1,故设原方程的特解为y*t=At+B
代入原方程,得A(t+1)+B+5(At+B)=52t,即6At+A+6B=52t.
比较系数知A=512,B=-572,故y*t=512t-16,从而原差分方程的通解为
yt=yc(t)+512t-16
【例8】差分方程yt+1-yt=tγ2t的通解为.
【解析】原方程对应的齐次差分方程为yt+1-yt=0,其通解为yc(t)=C(1)t=C(C为任意常数).
因为f(t)=tγ2t,且a+d=-1+2=1≠0,故设原方程的特解为y*t=2t(At+B)
代入原方程,得2t+1[A(t+1)+B]-2t(At+B)=t2t即At+2A+B=t.
比较系数知A=1,B=-2,故y*t=2t(t-2),从而原差分方程的通解为
yt=yc(t)+y*t=C+2t(t-2)
基础过关练习
1. 求解下列一阶微分方程
(1) xy′+y=2xy
(2) y′=1xy+y3
2. 微分方程
ydx+(x-3y2)dy=0满足条件
yx=1=1的解为
y=.
3. （数一、二）求微分方程
y″(x+y′2)=y′满足初始条件
y(1)=y′(1)=1的特解.
4. 微分方程
y″+y=x2+1+sinx的特解形式可设为().
(A)
y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)
(B)
y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)
（C） y*=ax2+bx+c+Asinx
（D） y*=ax2+bx+c+Acosx
5. 设
y=ex(c1sinx+c2cosx)(c1,c2
为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.
6. 若
y=e2x+(x+1)ex是方程
y″+ay′+by=cex的解,求
a,b,c及该方程通解.
7. 已知函数f(x)在
(0,+∞)内可导，
f(x)0,limx→∞f(x)=1且满足limh→0f(x+hx)f(x)1h=e1x，求
f(x).
8. y″-4y=e2x的通解为
y=.
9. 设函数
f(x)在定义域
I上的导数大于零，若对任意的
x0∈I，曲线
y=f(x)在点
(x0,f(x0))的切线与直线
x=x0及
x轴所围成区域的面积恒为4，且
f(0)=2，求
f(x)的表达式.
10. 设函数
f(x)为在
(0,∞)内具有二阶连续导数的正值函数,且
z=f2(x)+f2(y)满足等式
??2z??x2??2z??y2-??2z??x??y2=1-??z??x2-??z??y2.求
(1) 验证
f″(x)=f(x)[1-(f′(x))2]2;
(2) 若
f(0)=1,f′(0)=0,求函数f(x)的表达式.
11. 设可导函数
φ(x)满足
φ(x)cosx+2∫x0φ(t)sintdt=x+1，求
φ(x).
(2) 设函数
φ(x)连续，且满足
φ(x)=ex+∫x0tφ(t)dt-x∫x0φ(t)dt,求
φ(x).
(3) 设
g(x)可微，
f(x)为其反函数，
x0且
∫f(x)0g(t)dt=13(x32-8)，求f(x).
【参考答案】
1. (1)
x-xy=c(2) x=ce12y2-y2-12. y=x3. y=23x32+134. A
5. y″-2y′+2y=0.6. a=-3,b=2,c=-1.方程的通解为
y=c1ex+c2e2x+xex.
7. f(x)=e-1x8. y=C1e-2x+C2+14xe2x9. f(x)=84-x.10. (1) 略(2) f（x)=u=1+x2.11. (1) φ(x)=sinx+cosx(2) φ(x)=12sinx+12cosx+12ex
(3) f(x)=x-2
第九讲无穷级数（数一、三）
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