考试要点剖析

一、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

1．　微分方程:含有一元未知函数及其导数的方程称为常微分方程.

2．　微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为方程的阶.

3．　微分方程的解:把函数代入方程成为恒等式,这个函数就叫方程的解.

4．　微分方程的通解:方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相等.

5．　初始条件:确定通解中任意常数的条件称为初始条件.对一阶微分方程其初始条件为yx=x0=y0;对二阶方程其初始条件为yx=x0=y0y′x=x0=y′0.

6．　特解：满足初始条件的解称为特解.

二、掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．会用简单的变量代换解某些微分方程.

一阶微分方程dydx=f(x,y)的解法:

1.　变量可分离的微分方程

变量可分离方程的常见形式是dydx=f(x)g(y)，

【解法】(1)　若g(y)≠0，方程可改写为dyg(y)=f(x)dx，求积分即得通解∫dyg(y)=∫f(x)dx．

若存在y0使g(y0)=0，直接验算可知常值函数y=y0也是原方程的一个解．

(2)　更一般的变量可分离方程是M(x)P(y)dx+N(x)Q(y)dy=0．

当N(x)P(y)≠0时，经分离变量，方程可改写成Q(y)P(y)dy+M(x)N(x)dx=0，

于是，积分可得通解∫Q(y)P(y)dy+∫M(x)N(x)dx=C．

若y0是函数P(y)的一个零点，则y=y0也是方程的一个解．如果不限定自变量是x，未知函数是y，且x=x0是函数N(x)的一个零点，则常值函数x=x0也是方程的一个解．在求解变量可分离的方程时，注意不要遗漏了这类常值函数解．

【例8.1】求方程1－x2y′=1－y2的通解.

【解析】此为变量可分离的微分方程，可分离变量得dy1－y2=dx1－x2，两边积分得arcsiny=arcsinx+C，C为任意常数.

2.　齐次微分方程

齐次微分方程的标准形式是dydx=fyx，

【解法】作变换u=yx　??　y=ux,由于dy=udx+xdu，代入方程可得u+xdudx=f(u)　??　xdudx=f(u)－u，当f(u)－u≠0时，这是关于u与x的可分离变量方程,移项积分即可得出通解．当u0为f(u)－u=0的根时,则y=u0x也是原方程的一个解．

【例8.2】求方程（x2+y2)dx－xydy=0的通解.

【解析】此为齐次微分方程，令u=yx　??　y=ux,由于dy=udx+xdu，代入方程可得（x2+u2x2)dx+ux2（udx+xdu)=0，整理得udu=1xdx

两边积分得u2=2ln|x|+C，整理得y2=x2[2ln|x|+C]

3.　一阶线性微分方程

一阶线性方程的标准形式是：y′+P(x)y=Q(x)，

其中P(x)与Q(x)是已知函数．当Q(x)=0时，称为一阶线性齐次方程，否则称为一阶线性非齐次方程．

【解法】将方程两边同时乘以e∫p(x)dx化为

ddx(ye∫p(x)dx)=q(x)e∫p(x)dx,

两边同时积分并整理，得到

一阶线性方程的通解公式为y=e－∫p(x)dx∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C．其中C是任意常数.

【方法运用点拨】

（1）　用公式法求解时，必须化为方程的标准形式

(2)　有的方程把y看成x的函数，方程不是线性的，但把x看成y的函数时，方程可能成为一阶齐次线性方程，此时也可以用公式法求解.

【例8.3】求方程（x+y)dy=dx的通解.

【解析】方法1：原方程可变为dxdy=x+y，即dxdy－x=y

此为x关于y的一阶齐次线性方程，

x=e－∫（－1)dy∫ye∫（－1)dydy+C=ey－∫yde－y+C=Cey－y－1

方法2：(变量代换)令u=x+y,则x=u－y，有dx=du－dy，代入方程可得udy=du－dy，分离变量得dy=duu+1

两边积分得y=ln|u+1|+C1，整理得u+1=±e－C1ey=Cy(C=±e－C1)

故x=Cey－y－1

基础过关题型

【题型一】求解一阶微分方程

【例1】求方程y′=y(1－x)x的通解.

【解析】可分离变量得dyy=1－xxdx，两边积分得ln|y|=ln|x|－x+c1

|y|=ec1|x|e－x得y=±eC1xe－x即y=Cxe－x

经检验y=0也为原方程的解，而当C=0时，y=0

故所求通解为y=Cxe－x，C∈R

【例2】求方程xy′=y+x2－y2(x0)的通解.

【解析】原方程可变形为y′=yx+1－yx2,（齐次方程）

令yx=u得：u+xdudx=u+1－u2　??　xdudx=1－u2

当1－u2≠0时，11－u2du=1xdx　??　arcsinyx=lnx+C.

当1－u2=0时，y=±x是方程的解.

【例3】求方程x2dy+（y－2xy－2x2)dx=0的通解.

【解析】原方程可变形为dydx+1－2xx2y=2.此为一阶线性微分方程

故y=e－∫1－2xx2dx·∫2e∫1－2xx2dxdx+C=x2e1x∫21x2e－1xdx+C=x2(2+Ce1x).

【例4】求方程y′=1xcosy+sin2y的通解.

【解析】将方程变形为：dxdy=xcosy+sin2y，dxdy－(cosy)x=sin2y

此为x关于y一阶线性微分方程

x=e∫cosydy∫sin2y·e－∫cosydydy+C=Cesiny－2(1+siny).

考试要点剖析

三、会用降阶法解下列微分方程:（数一，数二要求）

1.　方程y(n)=f(x)：利用不定积分运算(左右两边同时积分n次)直接求解.

2.　方程y(n)=f(x,y（n－1))(不含y)n1:令u=y（n－1),则原方程化为一阶方程u′=f(x,u).

3.　方程y″=f(x,y′)(不含y)：这类方程的特点是不显示未知函数y.

【解析】令P=y′(x)，则微分方程y″=f(x,y′)变为P′=f(x,P)，这是关于P=P(x)的一个一阶微分方程，设有解P=φ(x,C1)即dydx=φ（x,C1)　??　y=∫φ（x,C1)dx+C2

【例8.4】求方程y″=y′+x的通解.

【解析】：此为不显含y的微分方程

令P=y′(x)，则微分方程变为P′=P+x，即dPdx－P=x，

一阶线性微分方程，y′=P=e－∫（－1)dx·∫xe∫（－1)dxdx+C1=C1ex－x－1

两边再积分得y=C1ex－12x2－x+C2

4.　方程y″=f(y,y′)(不含x)：这类方程的特点是不显示自变量x

【解析】令P=y′(x)，y″=dPdx=dPdydydx=PdPdy代入方程得PdPdy=f（y,P)，此为P关于y的一阶微分方程，设有解P=ψ(y,C1)即dydx=ψ（y,C1)　??　dyψ（y,C1)=dx

积分得∫dyψ（y,C1)=x+C2

【例8.5】求yy″－（y′)2=0的通解.

【解析】此为不显含x的微分方程

令y′=P,则y″=PdPdy

则原方程变为yPdPdy－P2=0

在y≠0,P≠0时，约去P并分离变量得dPP=dyy　??　P=C1y

即dydx=C1y，分离变量得dyy=C1dx，

积分得ln|y|=C1x+C2,整理有y=CeC1x(其中C=±eC2)

经检验y=0也是原微分方程的解，而C=0时y=0，故所求通解为y=CeC1x，C为任意常数

基础过关题型

【题型二】可降阶的微分方程

【例5】求方程y″=y′2+1的通解.

【解析】此为不显含y的微分方程

令P=y′(x)，则微分方程变为P′=P2+1，即dPdx=P2+1，

此为变量可分离微分方程，分离变量得dPP2+1=dx

两边积分得arctanP=x+C1，即y′=P=tan(x+C1)

两边再积分得通解为y=ln|sec（x+C1)|+C2

【例6】求特解问题xy″－y′=x2

y(1)=13,y′(1)=1;

【解析】此方程不显含y,令y′=P则xdPdx－P=x2　??　dPdx－1xP=x.

即为一阶线性微分方程

p=e∫1xdx∫x·e－∫1xdxdx+C1=x(x+C1).

又y′(1)=1故C1=0.因而P=x2.

即dydx=x2　??　y=13x3+C2

又y(1)=13故C2=0.得y=13x3

满足初始条件方程的特解为y=13x3

【例7】求y3y″+1=0

y(1)=1,y′(1)=0yy″－（y′)2=0的通解.

【解析】此方程不显含x令y′=P，于是y″=PdPdy

则方程变为PdP=－dyy3，积分得P2=1y2+C1

根据初始条件y(1)=1,y′(1)=0，得C1=－1

故P2=1－y2y2　??　y′=P=±1－y2y

分离变量ydy1－y2=±xdx，积分得1－y2=±x+C2

再根据初始条件y(1)=1，得C2=μ1，即1－y2=±（x－1)

又y(1)=10，得满足初始条件特解为y=2x－x2