考试要点剖析
一、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值.
1. 极值的定义
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，若对该邻域内异于P0的任意点P(x,y)，总有f(x0,y0)≥f(x,y)（或f(x0,y0)≤f(x,y)）成立，则称f(x0,y0)是函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处取得的极大值（或极小值）.
2. 有关条件
?? 极值存在的必要条件：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)一阶偏导数存在，且(x0,y0)为极值点，则f′x(x0,y0)=0，f′y(x0,y0)=0.
【评注】
1） 方程组f′x(x,y)=0
f′y(x,y)=0的解，称为函数z=f(x,y)的驻点.
2） 函数z=f(x,y)的极值点只存在于其驻点或偏导数不存在的点.
3） 函数的驻点不一定是极值点.
?? 极值存在的充分条件：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有二阶连续偏导数，且f′x(x0,y0)=0，f′y(x0,y0)=0.令f″xx(x0,y0)=A，f″xy(x0,y0)=B，f″yy(x0,y0)=C,则
（1） AC－B20时具有极值，且当A0时有极小值
（2） AC－B20.
由题意f(0)0,g(0)0且A=－60，且A=－140，且A=140，则
函数z=z(x,y)在该点取极小值，z2(1,－1)=－2.
解法2将方程x2+y2+z2－2x+2y－4z－10=0配方得
(x－1)2+(y+1)2+(z－2)2=16.
从而有z=2±16－(x－1)2－(y+1)2.
由此可见x=1，y=－1时z=z(x,y)取得极大值为2+4=6，取得极小值2－4=－2.
【题型八】求条件极值和条件最值
【思路启迪】求条件极值的方法总结：
1. 化为无条件极值：利用所给条件将多元函数极值化为一元函数极值来求.
2. 利用拉格朗日乘数法
【例17】求函数f(x,y)=x2+y2-3在条件x-y+1=0下的极值.
【详解】方法1：化为无条件极值（条件较简单）
由x-y+1=0知y=x+1，代入f(x,y)=x2+y2-3得
φ(x)=f(x,x+1)=x2+(x+1)2-3,φ′(x)=2x+2(x+1)=4x+2
令φ′(x)=0得x=-12·φ″(x)=4,φ″-12=40,则φ(x)在x=-12取极小值，而x=-12时，y=12，于是f(x,y)=x2+y2-3在条件x-y+1=0下的条件极值在点-12,12处取得，且为极小值，极小值为f-12,12=-52.
方法2：（利用拉格朗日乘数法），构造拉格朗日函数
F(x,y,λ)=x2+y2-3+λ(x-y+1)
由F′x=2x+λ=0
F′y=2y-λ=0
F′λ=x-y+1=0得，x=－12，y=12,λ=1点-12,12是可能的极值点，又
A=F??xx=20，B=F??xy=0,C=F??yy=2AC－B20
因此函数f(x,y)=x2+y2-3在-12,12取得极小值，极小值为f-12,12=-52
【例18】求函数z=x2y(4－x－y)在直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值和最小值.
【分析】此为求闭区域上连续函数的最值问题，可先求出闭区域内部可能极值点（此题为驻点），再求出边界上可能的条件极值点，计算出上述各值，比较得出所求最值.
【详解】先求内部驻点
??z??x=2xy(4－x－y)－x2y=xy(8－3x－2y)，
??z??y=x2(4－x－y)－x2y=x2(4－x－2y).
在区域D内令??z??x=0
??z??y=0即3x+2y=8,
x+2y=4,由此可解得
z(x,y)在D内唯一驻点(2,1)，且z(2,1)=4.
在D的边界y=0(0≤x≤6)或x=0(0≤y≤6)上，z(x,y)=0.
在边界x+y=6(0≤x≤6)上，z(x,y)=2(x3－6x2)(0≤x≤6).
令φ(x)=2(x3－6x2)，0≤x≤6，
则φ′(x)=6x2－24x.令φ′(x)=0，得x=4.
φ(0)=0,φ(4)=－64,φ(6)=0.
则z(x,y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为－64.由此可知z(x,y)在区域D上最大值为4，最小值为－64.
基础过关练习
1. 设
f(x,y)=y1+xy-1-ysinπxyarctanx,x0,y0,求
(1) g(x)=limy→+∞f(x,y);(2) limx→0+g(x).
2. 设
f(x,y)=x+2y+(y-1)arcsinxy,求fx(0,1),fy(0,1).
3. 设
f(x,y)=ex2+y4,则函数在原点偏导数存在的情况是().
（A） f′x(0,0)存在，f′y(0,0)存在(B) f′x(0,0）存在，f′y(0,0)不存在
（C） f′x(0,0)不存在，f′y(0,0）存在（D） f′x(0,0)不存在，f′y(0,0)不存在
4. 设
f(x,y)=|x|x2+y2sin(x2+y2)(x,y)≠(0,0)
0(x,y)=(0,0),求
fx(0,0)和
fy(0,0).
5. 设
z=ln(1+xy2),则
??2z??x??y（0,1)=.
6. 设
f(x,y)=x+x2y2，求
f′x(x,y),f′y(x,y),f′x(1,2),f′x(x,1),f′y(x,x2).
7. 设z=(1+x2+y2)xy，求??z??x及??z??y.
8. 已知z=yxxy，则??z??x(1,2)=.
9. 设z=(x+ey)x,则??z??x(1,0)=.
10. 设函数f(u)可微,且
f′(0)=12,则
z=f(4x2-y2)在点(1,2)处的全微分dz(1,2)=.
11. 设二元函数
z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则
dz(1,0)=.
12. 设函数
f(u,v)具有二阶连续偏导数,
z=f(x,xy),则
??2z??x??y=.
13. 设
(r,θ)为极坐标,
u=u(r,θ)具有二阶连续偏导数,并满足
??u??θ≡0,且
??2u??x2+??2u??y2=0,求
u(r,θ).
14. 设方程
Fxz,zy=0可确定函数
z=z(x,y),求
??z??x和??z??y.
15. 设可微函数
f(x,y)在点
(x0,y0)处取极小值,则下列结论正确的是().
（A)
f(x0,y)在
y0处导数大于零（B) f(x0,y)在
y0处导数等于零
（C） f(x0,y)在
y0处导数小于零（D）
f(x0,y)在
y0处导数不存在
16. 设函数
f(x)具有二阶连续导数，且
f(x)0，
f′(0)=0，则函数
z=f(x)lnf(y)在点
(0,0)处取得极小值的一个充分条件是().
(A) f(0)1,f″(0)1(B) f(0)1,f″(0)I2I3（C） I2I1I3（D） I3I1I2
【解析】在相同的积分区域上比较被积函数的大小,利用二重积分性质可比较二重积分大小.在区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上，除原点x2+y2=0及边界x2+y2=1外，有x2+y2x2+y2(x2+y2)2,而在0≤u≤1内,cosu是严格单调减函数,于是 cosx2+y2