考试要点剖析
一、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.
1. 偏导数
（1） 定义：设函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)的某邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处取得增量Δx时，如果limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx存在，则称之为z=f(x,y)在p0(x0,y0)处的对x的偏导数.记作??z??x(x0,y0)，??f??x(x0,y0)，zx′(x0,y0)或f′x(x0,y0).
即
f′x(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx
类似地，z=f(x,y)在点p0(x0,y0)处对在点y的偏导数定义为
f′y(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0)Δy.
【概念理解点拨】
1） 偏导数是一元函数的导数，即
如果f(x,y0)关于x在点x=x0处可导，则f′x(x0,y0)=ddxf(x,y0)x=x0；
如果f(x0,y)关于y在点y=y0处可导，则f′y(x0,y0)=ddyf(x0,y)y=y0.
2） 求初等函数z=f(x,y)在具体点(x0,y0)处的的偏导数，可不必求出该函数的导函数，然后代入点(x0,y0)，而是先代入x=x0或者y=y0然后求一元函数的导数，这样会更简单.
3） 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数是否存在与函数z=f(x,y)在点(x0,y0)是否存在极限、是否连续没有任何关系.
4） 虽然dydx可视为dy与dx的商，但是??z??x和??z??y却是整体记号，始终不可视为商的形式.
5） 如果函数
z=f(x,y)在区域D的每一点处均存在偏导数，则偏导数仍是
x,y的二元函数，记为
??z??x,??z??y,??f??x,??f??y或f′x(x,y),f′y(x,y).
【例6．3】求z=x2+3xy+y2在点（1,2）处的偏导数.
【详解】把y看作常量，得??z??x=2x+3y，把x看作常量，得??z??y=3x+2y，将（1,2）代入上面的结果，就得??z??xx=1
y=2=2·1+3·2=8，??z??yx=1
y=2=3·1+2·2=7.
2． 偏导数的几何意义
f′x(x0,y0)表示曲线
Γ：
z=f(x,y)
y=y0在点
M(x0,y0,f(x0,y0))处的切线对
x方向的斜率.
f′y(x0,y0)表示曲线
Γ：z=f(x,y)
x=x0在点M(x0,y0,f(x0,y0))处的切线对y方向的斜率.
3. 高阶偏导数
如果函数z=f(x,y)在区域D内的偏导数f′x(x,y)与f′y(x,y)仍具有偏导数，则称它们的偏导数为函数z=f(x,y)的二阶偏导数，记作
f″xx(x,y)=??2z??x2=????x??z??x，f″xy(x,y)=??2z??x??y=????y??z??x，
f″yx(x,y)=??2z??y??x=????x??z??y，f″yy(x,y)=??2z??y2=????y??z??y.
其中??2z??x??y与??2z??y??x称为二阶混合偏导数.
类似地，可以定义更高阶的偏导数，例如????y??2z??x2＝??3z??x2??y＝f??xxy(x,y).
【评注】若偏导函数??2z??x??y和??2z??y??x都在点(x0,y0)处连续，则必有??2z??x??y(x0,y0)=??2z??y??x(x0,y0).
4． 全微分
（1） 定义：若函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)的某邻域内有定义，当f(x,y)在p0(x0,y0)处的全增量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)可表示为
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),ρ=(Δx)2+(Δy)2
其中A,B与Δx,Δy无关,o(ρ)是当ρ→0比ρ高阶的无穷小,则线性主部AΔx+BΔy叫作z=f(x,y)在p0(x0,y0)处的全微分,记作dz，即
dz（x0,y0)=AΔx+BΔy.
规定dx=Δx,dy=Δy，因此dz（x0,y0)=Adx+Bdy.
类似地，可定义n元函数的全微分.
（2） 关系
?? （可微的必要条件）：若f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则
1） z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续，但反之不然；
2） z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数f′x(x0,y0)，f′y(x0,y0)都存在，且有
dz(x0,y0)=f′x(x0,y0)dx+f′y(x0,y0)dy.
?? （可微的充分条件）：若函数z=f(x,y)的偏导数f′x(x,y)，f′y(x,y)在(x0,y0)点连续，则函数在该点可微.
?? （可微的充要条件）：f(x,y)在点(x0,y0)处可微 ?? limρ→0Δz－f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δyρ=0，其中ρ=(Δx)2+(Δy)2.
5. 微分形式不变性
设z=f(u,v)可微，u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)也均可微，并设可构成复合函数z=f(φ(x,y),ψ(x,y))，则有公式dz=??f??udu+??f??vdv，即不论u,v是中间变量还是自变量，微分公式的形式是一样的,此称（一阶）微分形式不变性.
6. 关于函数连续，偏导数存在，函数可微之间的关系
若z=f(x,y)在P0(x0,y0)可微，则该函数在P0一定连续，且偏导数存在；反之，若函数在P0连续，则偏导数不一定存在，函数在P0不一定可微.但是当偏导数在P0连续时，则函数在P0点可微.如下图：
【例6.4】考虑二元函数
f(x,y)的下面4条性质：
① f(x,y)在点(x0,y0)处连续，
② f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续，
③ f(x,y)在点(x0,y0)处可微，
④ f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.
若用
“P ?? Q”表示可由性质
P推出
Q，则有().
(A) ②
?? ③
?? ①(B) ③ ?? ②
?? ①
（C） ③
?? ④
?? ①（D） ③
?? ①
?? ④
【答案】根据上述关系易知选（A）.
二、掌握多元复合函数一阶,二阶求导法;了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数（隐函数存在定理数三不要求）.
1． 复合函数求导法则
模型Ⅰ（一元函数与多元函数复合）：设
z=f(u,v)有连续偏导数，
u=φ(t),v=ψ(t)都可导，则
dzdt=??f??ududt+??f??vdvdt，这里
dzdt称为
z对
t的全导数.
模型Ⅱ（多元函数与多元函数复合）：
1） 设
u=φ(x,y)和
v=ψ(x,y)在点
(x,y)处偏导数存在，函数
z=f(x,y)在对应点
(u,v)具有连续偏导数，则复合函数
z=f(φ(x,y),ψ(x,y))在点
(x,y)处偏导数存在，且
??z??x=??z??u·??u??x+??z??v·??v??x，??z??y=??z??u·??u??y+??z??v·??v??y.
2） 设
z=f(u,v,w)有连续偏导数，
u=φ(x,y)，
v=ψ(x,y),w=ω(x,y)偏导数存在，则??z??x=??f??u·??u??x+??f??v·??v??x+??f??ω·??ω??x,??z??y=??f??u·??u??y+??f??v·??v??y+??f??ω·??ω??y.
【注】1. 多元函数的复合函数求偏导数不论复合关系多复杂，其基本原则是：有几个中间变量求出来就有几项，每项先对中间变量求偏导数再乘以中间变量对自变量的偏导数.
2. 抽象或半抽象复合函数求二阶偏导数是重点又是相对难点，应注意
f(u,v)对
u,v求完偏导后一般还是
u,v的函数.
模型Ⅲ（复合函数中间变量又是自变量）：
1） 设
u=f(x,y,z)具有连续偏导数，
z=φ(x,y)在点
(x,y)处偏导数存在，则复合函数
u=f(x,y,φ(x,y))在点
(x,y)处偏导数存在，
则
??u??x=f′x+f′z??z??x??u??y=f′y+f′z??z??y
2） 设
u=f(x,y,z)具有连续偏导数，函数
y=φ(x)，
z=ψ(x)在点
x可导，则复合函数u=f(x,φ(x),ψ(x))在点
x可导,则
dudx=f′x+f′yφ′(x)+f′zψ′(x)
2. 隐函数求导
（1） 隐函数存在条件
设函数
F(x，y,z)在点
P(x0,y0,z0)的某个邻域内具有连续的偏导数，且
F(x0,y0,z0)=0，
Fz(x0,y0,z0)≠0，则方程
F(x,y,z)=0在点
(x0,y0,z0)的某个邻域内唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z=f(x,y)，它满足
z0=f(x0,y0).
同理，当
Fx(x0,y0,z0)≠0或
Fy(x0,y0,z0)≠0时，可分别确定隐函数
x=φ(y,z)或
y=ψ(x,z).
【例6．5】设有三元方程
xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程().
(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数
z=z(x,y)
(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数
y=y(x,z)和
z=z(x,y)
（C） 可确定两个具有连续偏导数的隐函数
x=(y,z)和
z=z(x,y)
（D） 可确定两个具有连续偏导数的隐函数
x=x(y,z)和
y=y(x,z)
【详解】令
F(x,y,z)=xy-zlny+exz-1,则
F′x=y+exzz,F′y=x-zy，F′z=-lny+exzx,
所以F′x(0,1,1)=2≠0,F′y(0,1,1)=-1≠0,F′z(0,1,1)=0.
由于F′z(0,1,1)=0，所以由隐函数存在定理知，不一定能确定具有连续偏导数的函数 z=z(x,y)，所以排除(A)、(B)、（C），而F′x(0,1,1)=2≠0和F′y(0,1,1)=-1≠0，所以可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)，故应选（D）.
（2） 隐函数导数的求法
1） 由一个方程所确定的隐函数
设F(x,y,z)有连续一阶偏导数，F′z≠0,z=z(x,y)由
F(x,y,z)=0所确定.
求导方法
① 公式法：
??z??x=-F′xF′z,??z??y=-F′yF′z.
② 等式两边求导
F′x+F′z??z??x=0，F′y+F′z??z??y=0.
③ 利用微分形式不变性：
F′xdx+F′ydy+F′zdz=0.
2) 由方程组所确定的隐函数(仅数学一要求)
求导方法
① 设方程组
F(x,y,u,v)=0
G(x,y,u,v)=0确定了隐函数
u=u(x,y)和
v=v(x,y)，则通过等式两边同时对
x,y求偏导，注意到
u,v是
x,y的函数，有
F′x+F′u??u??x+F′v??v??x=0
G′x+G′u??u??x+G′v??v??x=0,
当
F′uF′v
G′uG′v≠0时，从此方程组中可求出
??u??x,??v??x.完全类似，方程两端对
y求偏导，可求出??u??y,??v??y.
② 利用微分形式不变性F′xdx+F′ydy+F′udu+F′vdv=0
G′xdx+G′ydy+G′udu+G′vdv=0
可分别解出du=??u??xdx+??u??ydy，dv=??v??xdx+??v??ydy，从而得出所求.
【例6.6】设xu－yv=0，yu+xv=1，求??u??x，??v??x.
【详解】将所给方程的两边对x求导并移项，得x??u??x－y??v??x=－u
y??u??x+x??v??x=－v.
然后按求解二元一次方程组的方法求解出
??u??x=－xu+yvx2+y2，??v??x=－yu－xvx2+y2.
基础过关题型
【题型三】讨论连续性、可导性、可微性
【思路启迪】
1. 连续性
若f(x,y)在点(x0,y0)某邻域内有定义，验证limx→x0
y→y0f(x,y)=f(x0,y0).
2. 可导性
分别计算limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx，limΔy→0f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0)Δy.
3． 可微性：判定f(x,y)在点(x0,y0)处可微的步骤
1） 先求f′x(x0,y0)，f′y(x0,y0)，任一不存在，则函数在该点不可微，若均存在进行下一步.
2） 求limρ→0Δz－f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δyρ，其中ρ=(Δx)2+(Δy)2，判定该极限是否为零，若为零则可微；否则，不可微.
【例3】设f(x,y)=xyx2+y2(x,y)≠(0,0)
0(x,y)=(0,0)，求
（1） f′x(0,0),f′y(0,0),limx→0
y→0f(x,y).
（2） f(x,y)在(0,0)处是否连续？
【详解】（1） f′x(0,0)=limΔx→0f(0+Δx,0)－f(0,0)Δx=limΔx→00Δx=0，同理f′y(0,0)=0
由【例2】1）知极限limx→0
y→0f(x,y)不存在.
（2） 因为limx→0
y→0f(x,y)≠f（0,0)，故f(x,y)在(0,0)处不连续.
【评注】本例说明偏导数存在，但极限不存在，也不连续.
【例4】设f(x,y)=xyx2+y2(x,y)≠(0,0)
0(x,y)=(0,0),问
（1） f(x,y)在(0,0)处是否连续？
（2） f(x,y)在(0,0)处是否可微？
【详解】（1）由于0≤xyx2+y2≤12x2+y2→0，由夹逼定理知
limx→0
y→0f(x,y)=0且limx→0
y→0f(x,y)=f(0,0)
即f(x,y)在(0,0)处连续.
（2） f′x(0,0)=limΔx→0f(0+Δx,0)－f(0,0)Δx=limΔx→00Δx=0，同理f′y(0,0)=0
limΔx→0
Δy→0f(0+Δx,0+Δy)－f(0,0)－f′x(0,0)Δx－f′y(0,0)Δy(Δx)2+(Δy)2=limΔx→0
Δy→0ΔxΔy(Δx)2+(Δy)2
由【例2】1）知极限limΔx→0
Δy→0ΔxΔy(Δx)2+(Δy)2不存在.
所以f(x,y)在(0,0)处不可微.
【评注】此例说明极限存在、连续、偏导数存在，但不可微.
【题型四】求函数偏导数与全微分
1. 函数在某一点的偏导与全微分
【思路启迪】先代入x=x0或者y=y0然后求一元函数的导数，
1. 间断点处用一元函数定义.
2. 连续点直接看成一元函数求导再代入另一个变量的值.
【例5】设f(x,y)=2x+3y1+xyx2+y2,求fx(0,0)和fy(0,0).
【详解】fx(0,0)=ddxf(x,0)x=0=ddx(2x)x=0=2;
fy(0,0)=ddyf(0,y)y=0=ddy(3y)y=0=3.
【例6】设f(x,y,z)=zxy,则df(1,1,1)=.
【详解】fx(1,1,1)=ddxf(x,1,1)x=1=ddx(x)x=1=1，
fy(1,1,1)=ddyf(1,y,1)y=1=ddy1yy=1=－1y2y=1=－1，
fz(1,1,z)=ddzf(1,1,z)=ddz(1)z=1=0.
故df(1,1,1)=dx－dy.
2. 具体函数复合的偏导与全微分
【思路启迪】对其中一个自变量求导，另一个看成常数，利用一元函数求导公式和运算法则完成.
【例7】设ω=ln(x2+y2+z2)，而z=exy，求??ω??x,??ω??y.
【详解】??w??x=??f??x+??f??z??z??x=2xx2+y2+z2+2zx2+y2+z2yexy；
??w??y=??f??y+??f??z??z??y=2yx2+y2+z2+2zx2+y2+z2xexy.
3. 抽象函数复合的偏导与全微分
【思路启迪】综合应用复合函数求导法则.
【注意】1. 搞清复合关系，哪些是自变量，哪些是中间变量.
2. 对某个自变量求偏导时，要经过一切与其有关的中间变量而归结到自变量.
3. 求二阶偏导数时，对一切偏导数来说仍保持原来的复合关系.即z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),z对u,v有连续偏导数，u,v对x,y偏导数存在，则
??z??x=f′u(u,v)??u??x+f′v(u,v)??v??x,??z??y=f′u(u,v)??u??y+f′v(u,v)??v??y.
【例8】设z=fyx，求??2z??x??y.
【详解】??z??x=f′yx－yx2，????y??z??x=f″yx1x－yx2－1x2f′yx.
【例9】设z=f(xy,x2+y2)，求??z??x,??2z??x??y，其中f(u,v)有二阶连续偏导数.
【详解】??z??x=yf1+2xf2，
??2z??x??y=f1+y[xf11+2yf12］+2x[f21x+f22·2y］
=f1+xy[f11+4f22］+2(x2+y2)f12.
【题型五】求隐函数偏导数与全微分
【思路启迪】求偏导数的三种方法
(1) 公式法：??z??x=-F′xF′z,??z??y=-F′yF′z；
(2) 等式两边求导F′x+F′z??z??x=0,F′y+F′z??z??y=0；
(3) 利用微分形式不变性：F′xdx+F′ydy+F′zdz=0.
【例10】设z=z(x,y)是由方程z+ez=xy所确定,求??z??x和??z??y.
【详解】解法1（公式法）
由z+ez=xy知，z+ez－xy=0.由隐函数求导公式可得
??z??x=－FxFz=－－y1+ez=y1+ez,??z??y=－FyFz=－－x1+ez=x1+ez.
解法2（两边求偏导法）
等式z+ez=xy两端分别对x,y求偏导得
(1+ez)??z??x=y,(1+ez)??z??y=x.
由以上两式解得??z??x=y1+ez,??z??y=x1+ez.
解法3（一阶微分形式不变性）
等式z+ez=xy两端求微分得
dz+ezdz=ydx+xdy.
则dz=y1+ezdx+x1+ezdy.
从而有??z??x=y1+ez,??z??y=x1+ez.
【例11】设z=z（x,y)由z－y－x+xez－y－x=0所确定的二元函数,求dz(0,1).
【详解】方法1：（两边求偏导法）
等式两边分别对x,y求偏导得
??z??x－1+ez－y－x+xez－y－x??z??x－1=0（1）
??z??y－1+xez－y－x??z??x－1=0（2）
由原方程知：当x=0,y=1时，z=1，分别代入（1）（2）式得
??z??x(0,1)=0，??z??y(0,1)=1
dz(0,1)=0dx+1dy=dy
解法2（一阶微分形式不变性）等式两边求微分得
dz－dy－dx+d（xez－y－x)=0
dz－dy－dx+xdez－y－x+ez－y－xdx=0（1）
由原方程知：当x=0,y=1时，z=1，代入（1）式并整理得dz(0,1)=dy.
【评注】本题也可用公式法先求出偏导数，再代入全微分公式，留给读者自己去完成.从上述方法比较来看，若是求全微分，则直接用一阶微分形式不变性较简单.
【例12】设u=f(x,y,z)有连续一阶偏导数,z=z(x,y)由方程xex－yey=zez所确定,求du.
【详解】方法1由u=f(x,y,z)知
??u??x=??f??x+??f??z??z??x.
等式xex－yey=zez两端对x求导得
ex+xex=(ez+zez)??z??x.
由此可得??z??x=ex(1+x)ez(1+z)=1+x1+zex－z.
则??u??x=??f??x+??f??z1+x1+zex－z.
同理可求得??u??y=??f??y－??f??z1+y1+zey－z.
故du=??f??x+??f??z1+x1+zex－zdx+??f??y－??f??z1+y1+zey－zdy.
方法2由u=f(x,y,z)知，du=??f??xdx+??f??ydy+??f??zdz.
等式xex－yey=zez两端求微分得
(ex+xex)dx－(ey+yey)dy=(ez+zez)dz.
解得dz=1+x1+zex－zdx－1+y1+zey－zdy.
将dz代入du=??f??xdx+??f??ydy+??f??zdz得
du=??f??x+1+x1+zex－zdx+??f??y－1+y1+zey－zdy.