考试要点剖析

一、掌握利用洛必达法则求未定式极限的方法

1.　洛必达(L??　Hospital)法则

法则Ⅰ　00:设函数f(x),g(x)满足条件:

①　limx→x0f(x)=0,limx→x0g(x)=0；

②　f(x),g(x)在x0的去心邻域内可导,且g′(x)≠0;

③　limx→x0f′(x)g′(x)存在(或∞),则limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x).

法则Ⅰ′　00:设函数f(x),g(x)满足以下条件:

(1)　limx→∞f(x)=0,limx→∞g(x)=0;

(2)　存在一个X0,当|x|X时,f(x),g(x)可导,且g′(x)≠0;

(3)　limx→∞f′(x)g′(x)存在(或∞)，则limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f′(x)g′(x).

法则Ⅱ　∞∞型

设函数f(x),g(x)满足以下条件:

(1)　limx→x0f(x)=∞,limx→x0g(x)=∞;

(2)　f(x),g(x)在x0的去心邻域内可导，且g′(x)≠0;

(3)　limx→x0f′(x)g′(x)存在(或∞),则limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x).

法则Ⅱ′　∞∞型同法则Ⅰ′可写出

【方法运用点拨】

（1)　只有00,∞∞的未定式,才可能用法则,一次用法则后得到式子只要00或∞∞,则可一直用下去;

（2)　每用过一次法则,将式子整理化简;

（3)　为简化运算,经常将法则和等价无穷小结合使用;

（4)　如果limf′(x)g′(x)不存在且不是无穷大量时，则不能得出limf(x)g(x)是否存在.

【例3.6】验证极限limx→∞x+sinxx存在，但不能用洛必达法则求出.

【解析】limx→∞x+sinxx=limx→∞1+sinxx=1.

而limx→∞（x+sinx)′(x)′=limx→∞1+cosx1=limx→∞（1+cosx)不存在，故不能用洛必达法则求出.

(5)　当x→∞时,极限式中含sinx,cosx不能用法则,x→0时,极限式中含sin1x,cos1x不能用法则.

2．　各种未定式处理方法

其他未定式：0·∞，∞－∞，00，∞0，1∞.

综述:求极限的问题,主要是求未定型的极限,而它们都可以化为00型或∞∞型:

(1)　基本型00，∞∞.

(2)　∞·0型=01/∞→∞∞

∞1/0→00（把握一个原则：简单的式子下放原则）.

(3)

∞∞型.

1）　分式差（通分）;

2）　提出大的无穷大;

3）　倒代换令x=1t.

(4)　1∞,∞0,00型

用e的抬起法（实质就是幂指函数）即limu(x)v(x)=limev(x)lnu(x).

基础过关题型

【题型四】利用洛必达法则求极限

【例10】求limx→－∞x(x2+100+x).

【解析】本题含根式一般先有理化，化简再求函数的极限,

limx→－∞x(x2+100+x)=limx→－∞x(x2+100+x)·(x2+100－x)x2+100－x

=limx→－∞100xx2+100－x=limx→－∞1001x·x2+100－1.

因为x