考试要点剖析
一、掌握用导数判断函数的单调性.
1. 单调性判别法
设y=f(x)在[a,b］上连续，在(a,b)内可导，
(1) 若f′(x)≥0,(x∈(a,b)),则y=f(x)在[a,b］上单调增加;
(2) 若f′(x)≤0,(x∈(a,b)),则y=f(x)在[a,b］上单调减少;
【注】确定函数的单调区间:用一阶导数等于零的点及一阶导数不存在点对定义域划分,然后判断导函数在每个区间上的符号.
【例3.7】求下列函数的单调区间(1) y=1+36x（x+3)2;(2) y=1－（x－2)23.
【解析】(1) y′=36(3－x)(x+3)3=0 ?? x1=3.
x(－∞,－3)(－3,3)3(3,+∞)
y′-+-
y单减单增单减
单调增加区间(－3,3］，单调减区间(－∞,－3),[3,+∞).
(2) y′=－23(x－2)－13
x(－∞,2)2(2,+∞)
y′+-
y单增单减
二、理解函数的极值的概念，掌握求函数极值的方法和函数最大值、最小值的求法及其简单应用.
1. 极值定义
设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义,且存在δ0,当x∈U(x0∧,δ)有f(x)f(x0)[或f(x)0(0时f(x0)为极小值,f(n)(x0)0，则在点
x0的某个空心邻域内，有1n!f(n)(x0)(x-x0)n0，从而f(x)f(x0),
此时
x0为
f(x)的极小值点；
若
f(n)(x0)0(在x=0的某空心领域);
由1－cosx0,有f(x)0=f(0),即f(x)在x=0取极小值,应选（D）.
本题还可特殊选取满足题中条件的f(x)=x2显然,它在x=0取得极小值,其余的都不正确,这样本题仍选（D）.
【例26】求函数y=x+3(1－x)13的极值.
【解析】令y′=1－1(1－x)23=0得驻点为x1=0,x2=2，而x3=1是导数不存在的点,得出下列表格
x(－∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞)
y′+--+
y↑↓↓↑
由上表知,f(0)是f(x)的极大值;f(2)是f(x)的极小值.
【例27】设函数f(x)在(－∞,+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有().
(A) 一个极小值点和两个极大值点(B) 两个极小值点和一个极大值点
（C） 两个极小值点和两个极大值点（D） 三个极小值点和一个极大值点
【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)
或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值
点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．
【解析】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的
点有3个(导函数与x轴交点的个数)；x=0是导数
不存在的点．
对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均
不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧
导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个
驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：x=0．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点．
故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选（C）．
【例28】设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图形如右图所示，则导函数y=f′(x)的图形为().
【解析】从题设图形可见,在y轴的左侧,曲线y=f(x)是严格单调增加的,因此当 x0,对应y=f′(x)图形必在x轴的上方,由此可排除(A),（C）;又 y=f(x)的图形在y轴右侧靠近y轴部分是单调增,所以在这一段内一定有f′(x)0,对应y=f′(x)图形必在x轴的上方，可排除(B),故正确答案为（D）.
【题型七】凹凸性的判定与拐点的求法
求函数凹凸区间与拐点的方法程序：
1) 定域：求函数f(x)的定义域;
2) 找点：找出可能拐点，即f″(x)=0的点及f″(x)不存在的连续点;
3) 分段：用2）中求得的点分定义域为若干段子区间;
4) 判定：讨论每个子取间内f″(x)的符号,得出结论.
【例29】设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其中2阶导函数f″(x)的图形如图所示,则曲线y=f(x)的拐点个数为（）.
(A) 0(B) 1
(C) 2(D) 3
【解析】曲线的拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f″(x)的图形可得，曲线y=f(x)存在两个拐点.选（C）.
【评注】本题图形若为f′(x)的图形，则答案为（B），请读者思考为什么?
【例30】求函数f(x)=(x-5)x23的拐点.
【解析】因为y=x5/3-5x2/3所以y′=53x2/3-103x-1/3=5(x+2)3x1/3.
所以y″=109x-1/3+109x-4/3=10(x+1)9x4/3.
当x=-1时，y″=0;x=0时,y″不存在.
在x=-1左右近旁y″异号，在x=0左右近旁均有y″0，且y(-1)=6.
故所求曲线的拐点为(-1,-6).
【例31】设f(x)=|x(1－x)|,则().
(A) x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点
(B) x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
（C） x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
（D） x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点
【解析】f(x)=x2－x,x≤0
x－x2,0f(0)=0.得ex1+x+12x2.
【例34】证明:当0