★★依照如下箭头方向证明下列定理

考试要点剖析

一、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理和了解并会用柯西中值定理.

1．　费尔马定理

若函数f(x)满足条件：

(1)　函数f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0).

(2)　f(x)在x0处可导，则有f′(x0)=0.

【证明】不妨设f(x)≤f(x0),由导数定义可知f′(x0)=limx→x0f(x)－f(x0)x－x0.

由极限保号性可知:??δ0,

当x∈(x0－δ,x0)时,此时f(x)－f(x0)x－x0≥0,得f′－(x0)≥0;

当x∈(x0,x0+δ)时,此时f(x)－f(x0)x－x0≤0,得f′+(x0)≤0;

又因为f(x)在x0处可导.即f′－(x0)=f′+(x0).

综上,f′(x0)=0.

【注】考研中拉格朗日中值定理的证明考过,费马引理证明未考过,证明过程用了导数定义和保号性；罗尔定理的证明也没有考过,是利用费马引理证明的！希望读者们重视两个定理的证明过程！

2.　罗尔定理

设函数f(x)在[a,b]上满足三个条件:

(1)　f(x)在[a,b]上连续;

(2)　f(x)在（a,b)内可导;

(3)　f(a)=f(b),则至少存在ξ∈（a,b)使f′（ξ)=0.

【证明】因为f(x)在[a,b]上连续,故f(x)在[a,b]上有最大值、最小值.

设M,m为f(x)在[a,b]上的最大值、最小值,

(1)　当m=M时,f(x)=C=M=m(C为常数),则f′(x)=0,所以??ξ∈(a,b)，有f′(ξ)=0.

(2)　当m≠M时，则M,m至少有一个在开区间(a,b)内部ξ取到，不妨设f(ξ)=M,则由费马引理f′(ξ)=0.

【例3.1】设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，f(0)=0,f(1)=－1,f(3)=2.

证明：必存在

ξ∈(0,3)，使f′(ξ)=0.

【证明】由闭区间连续函数的零点定理及f(1)f(3)