考试要点剖析

一、理解函数连续性的概念(含左右连续),会判断函数间断点的类型.

1.　函数在点x0处连续性的定义

定义1设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当自变量在点x0处的增量Δx趋近于0时,相应的函数的增量Δy也趋近于0,即

limΔx→0Δy=0或limΔx→0[f（x0+Δx)－f（x0)]=0，

则称函数y=f(x)在点x0处连续.

定义2设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当x→x0时,函数f(x)的极限值存在,且等于x0处的函数值f（x0),即limx→x0f(x)=f（x0),则称函数y=f(x)在点x0处连续,此时有limx→x-0f(x)=limx→x+0f(x)=f（x0).

定义3设函数y=f(x),如果limx→x-0f(x)=f（x0),则函数f(x)在点x0处左连续;如果limx→x+0f(x)=f（x0),则称函数f(x)在点x0处右连续.

【概念理解点拨】

1)　从极限的角度看连续：定义1表明,若函数在某点x0处的增量Δx为无穷小时,相应的函数的增量Δy也是无穷小,即limΔx→0Δy=0,则函数在该点处连续.定义2表明,如果当x→x0时,f(x)→f（x0),即limx→x0f(x)=f（x0),则函数f(x)在点x0处连续.由此可见,对于讨论函数的连续性问题,其关键运算就是求函数的极限.

2)　由上述定义2可知,如果y=f(x)在点x0处连续,则f(x)在x0处既左连续也右连续.

3）　函数f(x)在点x0连续,表示以下三条同时满足:

①　f(x)在x0有定义；

②　limx→x0f(x)存在；

③　limx→x0f(x)=f(x0).

2.　函数在区间内(上)连续的定义

如果函数y=f(x)在开区间（a,b)内的每一点都连续,则称f(x)在（a,b)内连续.

如果y=f(x)在开区间内连续,在区间端点a右连续,在区间端点b左连续,则称f(x)在闭区间[a,b]上连续.

3.　连续函数的运算性质

1)　(四则运算)在区间

I连续的函数的和、差、积及商(分母不为零),在区间

I仍是连续的.

2)　(复合函数的连续性)连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数.

3)　(反函数的连续性)在区间

I连续且单调的函数的反函数,在对应区间仍连续且单调,且单调性不变.

4)　基本初等函数在它的定义域内是连续的.

5)　初等函数在它的定义区间内是连续的.

【概念理解点拨】

1)　f(x)±g(x)连续　f(x),g(x)是否连续;

f(x),g(x)一个连续一个不连续　??　f(x)±g(x)不连续;

f(x),g(x)都不连续　f(x)±g(x)是否连续;

f(x),g(x)一个连续一个不连续;或两个都不连续　f(x)g(x)是否连续.

2)　对于复合函数f［φ(x)］,若φ(x)在x0处（或x→∞）有极限a,y=f(u)在u=a处连续，则limx→x0f［φ(x)］=f［limx→x0φ(x)］.

4．　间断点的定义

设函数y=f(x)在x0的某去心邻域内有定义,在此前提下如果函数有下列三种情形之一：

(1)　在x0点没有定义;

(2)　虽在x0点有定义但limx→x0f(x)不存在;

(3)　虽在x0点有定义且limx→x0f(x)存在但limx→x0f(x)≠f(x0),则称x0为函数的间断点.

5．　间断点的类型

(1)　若limx→x0f(x)存在且x0是间断点,则称x=x0是f(x)的可去间断点.

(2)　若limx→x+0f(x),limx→x－0f(x)都存在,但不相等,则称x=x0是f(x)的跳跃间断点.

(3)　若limx→x+0f(x)=∞或limx→x－0f(x)=∞,则称x=x0是f(x)的无穷间断点.

(4)　若limx→x0f(x)不存在,且当x→x0时函数值在摆动,则称x=x0是f(x)的振**间断点.

【评注】1）　上述间断点中,(1)(2)两类称为第一类间断点,(3)(4)两类称为第二类间断点.

2）　对于可去间断点,可补充定义f（x0)=limx→x0f(x),使f(x)在点x0处连续.

二、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值、介值定理、零点定理）会应用这些性质.

定理1（最大值和最小值定理）设函数f(x)在［a,b］上连续,则f(x)在［a,b］上必取得最大值与最小值,即??ξ,η∈［a,b］使得f(ξ)=maxa≤x≤b{f(x)},f(η)=mina≤x≤b{f(x)}.

推论1（有界定理）设函数f(x)在［a,b］上连续,则f(x)在［a,b］上有界.

定理2（介值定理）设函数f(x)在［a,b］上连续,μ是介于最大值与最小值之间的任一实数,则??ξ∈［a,b］,使得f(ξ)=μ.

推论2（零点定理）设函数f(x)在［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号[即f(a)·f(b)1.

【解析】（1）　f(x)的无定义点为x=0,x=1,

limx→0f(x)=∞,x=0为无穷间断点（第二类间断点）,

limx→1+0f(x)=1,limx→1－0f(x)=0,x=1为跳跃间断点（第一类间断点）.

(2)　f(x)在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)为初等函数,x=±1是可能的间断点.

当x=－1时limx→－1－0f(x)=limx→－1－0(1－x)=2,limx→－1+0f(x)=limx→－1+0cosπ2x=0.

当x=－1是跳跃间断点（第一类）.

当x=1时,limx→1－0f(x)=limx→1－0cosπ2x=0,limx→1+0f(x)=limx→1+0(x－1)=0,f(1)=0,

故limx→1f(x)=f(1),所以x=1是连续点.

【例23】设函数f(x)=ln(1+ax3)x－arcsinx,x0.

问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？

【详解】函数f(x)在x=0处连续，则要求函数f(x)在x=0处既是左连续又是右连续，即f(0+)=f(0)=f(0－).

f(0－)=limx→0－f(x)=limx→0－ln(1+ax3)x－arcsinx=limx→0－ax3x－arcsinx

[由于ln(1+x)～x(x→0)，所以ln(1+ax3)～ax3(x→0)]

=limx→0－3ax21－11－x200型极限，用洛必达法则

=limx→0－3ax21－x2－1·limx→0－1－x2(极限的四则运算)

=limx→0－3ax2－12x2（(1－x2)12－1～12(－x2)=－12x2(x→0)）

=－6a

f(0+)=limx→0+f(x)=limx→0+eax+x2－ax－1xsinx4=limx→0+eax+x2－ax－1x24

=4limx→0+eax+x2－ax－1x2=4limx→0+aeax+2x－a2x

=4limx→0+a2eax+22=2limx→0+(a2eax+2)=2a2+4

又f(0)=6.

所以，x=0为f(x)的连续点　??　f(0+)=f(0－)　??　－6a=6=2a2+4，得a=－1；

所以，x=0为f(x)的可去间断点　??　－6a=2a2+4≠6，即2a2+6a+4=0,但a≠－1解得a=－2，此时f(x)在x=0为可去间断点．

【题型九】与闭区间连续函数性质有关的题

1.　讨论方程根：先构造辅助函数，将方程根的问题转化函数零点问题，再用零点定理，证明零点存在性，即根的存在性

2.　中值的等式问题:一般先对函数用一次最值定理，找出所证中值的函数值介于最大值与最小值之间，再利用介值定理，可得证.

【例24】(1)　证明方程x3－4x2+1=0在(0,1)内至少有一个根.

(2)　已知函数f(x)在［0,1］上连续,且f(0)=0,f(1)=1,证明：存在ξ∈(0,1),使得　f(ξ)=1－ξ.

【证明】（1）　令f(x)=x3－4x2+1,x∈［0,1］

因为f(x)在［0,1］上连续,又f(0)=1,f(1)=－2.

所以??ξ∈(0,1)使f(ξ)=0.

（2）　令F(x)=f(x)+x－1,x∈［0,1］,所以F(x)在［0,1］上连续.

又F(0）=－1,F(1）=f(1)=1,所以??ξ∈(0,1),使F(ξ)=0.

【例25】设f(x)在［a,b］上连续,a