（C）的反例:xn=1n2为有界数列,yn=n满足limn→∞xnyn=limn→∞1n=0,但yn不是无穷小；排除掉(A)、(B)、（C）,故选（D）.

【题型四】求函数的极限

方法1．利用有理运算法则求极限.

方法2．利用基本极限求极限.

方法3.利用等价无穷小代换求极限.

方法4．洛必达法则(第三讲第二节讨论).

【例10】求下列函数极限

(1)　limx→02xarctan(1+x2)2sinx+xcosx(2)　limx→－∞4x2+x－1+x+1x2+sinx

(3)　limx→0sinx+x2sin1xx+x2(4)　limx→01+sin2x－cosxtan2x

(5)　limx→02+e1x1+e4x+sinx|x|(6)　limx→0tanx+(1－cosx)ln(1－2x)+(1－ex2)

【解析】(1)　原极限=2arctan1·limx→0x2sinx+x·cosx=π2limx→012·sinxx+cosx=π6.

【评注】很多同学误以为arctan(1+x2)～1+x2，殊不知这个连无穷小都不是，何谈等价无穷小代换！

(2)　原极限=limx→－∞4x2+x－1x+1+1xx2+sinxx=limx→－∞－4x2+x－1x2+1+1x－1+1x2sinx=1

【评注】本题最常见的错误解法如下:

limx→－∞4x2+x－1+x+1x2+sinx=limx→－∞4x2+x－1x+1+1xx2+sinxx

=limx→－∞4x2+x－1x2+1+1x1+1x2sinx=3.

错误的原因在于自变量x→－∞,若x→+∞,则此题答案为3.读者注意“正负有别”.此题也是常考极限limx→+∞1+x2x=1

limx→－∞1+x2x=－1的应用.

若读者不能够理解上述方法,请看下面解法：

limx→－∞4x2+x－1+x+1x2+sinxx=－t(倒代换)limt→+∞4t2－t－1－t+1t2－sint=1.

(3)　limx→0sinx+x2sin1xx+x2=limx→0sinxx+xsin1x1+x=1.

【评注】本题是00的极限，分子分母同除以无穷小的最低阶是常用手段之一.

(4)　含根号，往往先做有理化.

原式=limx→01+sin2x－cosxx2·11+sin2x+cosx=12limx→01+sin2x－cosxx2

=12limx→01－cosxx2+sin2xx2=12+12limx→01－cosxx2=34.

(5)　因x→0时，极限式中含有|x|,e1x，故应分左右极限讨论.

limx→0+2+e1x1+e4x+sinx|x|=limx→0+2+e1x1+e4x+sinxx=1+limx→0+2+e1x1+e4x=1+limx→0+(2+e1x)/e4x(1+e4x)/e4x=1

limx→0－2+e1x1+e4x+sinx|x|=limx→0－2+e1x1+e4x－sinxx=1

所以,limx→02+e1x1+e4x+sinx|x|=1.

【评注】本题查考了(1)　常考极限limx→0+e1x=+∞

limx→0－e1x=0;

(2)　∞∞型极限处理方法有两种：

1)　洛必达法则；

2)　上下分别除以大的无穷大.

本题中limx→0+2+e1x1+e4x=limx→0+(2+e1x)/e4x(1+e4x)/e4x的处理正是利用了上下分别除以大的无穷大,大的无穷大为e4x,而不是e1x.读者好好体会！

(6)　方法1.运用“无穷小，低价加高阶等价于低阶”分子分母同时略去高阶.

原式=limx→0tanxln(1－2x)=limx→0x2x=－12.

方法2.分子分母同除以无穷小的低阶

原式=limx→0tanxx+1－cosxxln(1－2x)x+(1－ex2)x=limx→0tanxx+limx→01－cosxxlimx→0ln(1－2x)x+limx→0(1－ex2)x=－12.

【题型五】求数列的极限

【思路启迪】

1．　通项是递归数列的极限

方法:单调有界准则

2．　通项是

n项和的数列极限

方法:1）　夹逼准则

2）　定积分那章再详细阐述.

3.　类未定式

方法:利用求函数极限的方法来求数列极限

【例11】limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n=.

【解析】本题为n项和的数列极限，应用夹逼准则求数列的极限.令

an=1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n

则an1n2+n+n+2n2+n+n+…+nn2+n+n

=1+2+…+nn2+2n=12n(n+1)n2+2n=12·n+1n+2.

又an0)得:

xn≥0,xn+1=12xn+axn≥12·2xn·axn=a,

所以{xn}有下界,下界为a;

(2)　再证单调性：

xn+1－xn=12axn－xn=12·a－x2nxn≤0,故xn+1≤xn,所以{xn}单调减少.

由(1)(2)及单调有界数列必有极限得limn→∞xn存在.

(3)　求极限：设limn→∞xn=A,对递推公式两边同时取极限得：limn→∞xn+1=limn→∞12xn+axn　??　A=12A+aA　??　A=a,

所以limn→∞xn=a.

【例14】设x1=10,xn+1=6+xn(n=1,2,…),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.

【解析】用单调有界准则.由题设显然有xn0,数列{xn}有下界.

证明xn单调减：用归纳法.x2=6+x1=6+10=4