1.　问题的提出

无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视，常可看到、听到商品广告.随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人们的重视.商品广告确实是调整商品销售量的强有力手段，然而，你是否了解广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些为推销商品作广告的企业极为重要.下面我们介绍独家销售的广告模型.

2.　模型假设

(1)　商品的销售速度会因作广告而增加，但这种增加是有一定限度的，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于它的极限值，当速度达到它的极限值时，无论再作何种形式的广告，销售速度都将减慢.

(2)　自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减小.

(3)　令s（t）表示t时刻商品销售速度；A（t）表示t时刻广告水平（以费用表示）；M为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限；λ为衰减因子，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度，λ0为常数.

3.　模型建立

问题中涉及的是商品销售速度随时间的变化情况：商品销售速度变化=增长-自然衰减.

为描述商品销售速度的增长，由模型假设1知商品销售速度的净增长率应该是商品销售速度s（t）的减函数r（s），并且存在一个饱和水平M，使得r（M）=0.

为简单起见，我们设r（s）为s（t）的线性减函数，则有

r（s）=p·1-s（t）M，

其中用p表示响应系数，即广告水平A（t）对商品销售速度s（t）的影响能力，p为常数.

因此可建立如下微分方程模型：

dsdt=p·1-s（t）M·A（t）-λs（t）.

4.　模型求解

从模型方程可知，当s=M或A（t）=0时，都有

dsdt=-λs.

为求解该模型，我们选择一个广告策略

A（t）=A（常量）0