存储论也称存贮论（Inventory　Theory），是研究物资最优存储策略及存储控制的理论.

存贮论研究的基本问题是，对于特定的需求类型，讨论用怎样的方式进行原料的供应、商品的订货或者产品的生产，以求最好地实现存贮的经济管理目标.因此，存贮论是研究如何根据生产或者销售活动的实际存贮问题建立起数学模型，然后通过费用分析求出产品、商品的最佳供应量和供应周期这些数量指标.

7.1.1存储论的概念

存储论中相关概念.

（1）　需求

因为有需求，必须有一定的存储.从存储中取出一定数量，这将使存储数量减少，这就是存储的输出.存储的目的是为了满足需求.

（2）　补充

补充可选择外部订货的方式，这里订货一词具有广义的含义，不仅从外单位组织货源，有时由本单位组织生产或是车间之间、班组之间甚至前后工序之间的产品交接，都可称为订货.订货时要考虑从订货起到货物运到之间的滞后时间.滞后时间分为两部分，从开始订货到货物到达为止的时间称为拖后时间，另一部分时间为开始补充到补充完毕为止的时间.滞后的出现使库存问题变得复杂，但存储量总会因补充而增加.

（3）　缺货的处理

由于需求或供货滞后可能具有随机性，因此缺货可能发生.对缺货的处理：在订货达到后不足部分立即补上或订货到达后其不足部分不再补充.

（4）　存储策略

存储论要研究的基本问题是货物何时补充及补充多少数量，任何一个满足上述要求的方案都称为一个存储策略.常见的策略有下面三种：

①　T循环策略:补充过程是每隔时段T补充一次，每次补充一个批量Q，且每次补充可

以瞬时完成，或补充过程极短，补充时间可不考虑.这就是T循环策略.

②　（T,S）策略:每隔一个时间T盘点一次，并及时补充，每次补充到库存水平S，因此每次补充量Qi为一变量，即Qi=S-Yi,式中Yi为库存量.

③　（T,s,S）策略：每隔一个时间T盘点一次，当发现库存量小于保险库存量s时，就补充到库存水平S.即当Yi0）（7.1）

由微分学知识，f（Q）在Q*处有极值的必要条件为dfdQ*=0，因此有dfdQ=12b-aDQ2=0，解之并舍去负根，得Q*=2aDb.（7.2）

易于验证在此点d2fdQ20，故Q*=2aD/b为模型（7.1）的最优解.

模型求的是总费用最小的订货批量，通常称为经济订货批量（Economic　Ordering　Quantity）,缩写其为EOQ模型.

此模型还可由初等数学求解，利用12Qb+aDQ≥2baD/2，等式仅当12Qb=aD/Q时成立，也得（7.2）.

当采用最佳批量时，计划期应采购的次数为

n=Db/2a

f*=2aDb+pD（7.3）

当（7.3）非整时，采购次数可选用[Db/2a]或[Db/2a]+1两个整数中使采购费用较少者作为最优选择，其理论基础来自于下面的几何解释.

在（7.1）中略去常数项pD后，记f1=12Qb+aDQ

图72

从上图看出：在点Q*处，12Qb=aD/Q.当Q0.这说明在Q*左侧，成本递减，在Q*右侧，成本递增，Q*处成本最小.

例7.1.1设大华工厂全年需甲料1200吨，每次订货的成本为100元，每吨材料年平均储存成本为150元，每吨材料买价为800元，要求计算经济批量及全年最小总成本.

已知D=1200P=800a=100b=150

经济批量Q*=2×1200×100/150=40（吨）

全年共采购30次，总成本为1200×800+20×150+30×100=766000（元）

2.　瞬时供货，允许缺货的经济批量模型

本模型允许缺货，但缺货损失可以定量计算，其余条件和模型（7.1）相同.缺货时存储量为零，由于允许缺货，所以可以减少订货和存储费用；但缺货会影响生产与销售，造成直接与间接损失.因此当本模型确定最优存储策略时，应综合这两方面的损失，使总费用达到最小.此时的存储状态如图73所示.

图73

假设周期T=T1+T2，Q1为周期T内的最大存储量，S为周期T内的最大缺货量，并设单位时间缺货费用为R，则T1为存储量为正的时间周期，T2为存储量为负的时间周期（缺货周期）.采用缺货预约存储策略，所以在一个周期内的订货量仍为Q=DT，在T1内有存量，需求为Q1=DT1，在T2内缺货量为S=DT2，不难看出

Q=Q1+S=D（T1+T2）（7.4）

与模型（7.1）的推导类似，在一个周期内的平均存量为Q1T1/2T，平均缺货量为ST2/2T，或者表示为S（T-T1）/2T.在一个周期内的费用为存储费Q1T1b′/2T，缺货费SR′（T-T1）/2T=12R′（Q-Q1）（T-T1）/T，订货费a，买价QP

得计划期内总费用最小的存储模型为

minf=12T1bQ1/T+12RD（Q-Q1）（T-T1）/Q+aD/Q+PD（7.5）

Q=DT,Q1=DT1,Q,Q1,T,T1≥0

将其视为Q1和T的函数，式（7.5）变为

minf=12bQ21/DT+12R（DT-Q1）2/DT+a/T+PD（7.6）

由极值必要条件

??f??Q1=（R+b）Q1DT-R=0

??f??T=RD2-（b+R）Q12DT2-aT2=0（7.7）

解之得：

T*=2a（b+R）/RDb

Q*=2aD（b+R）/Rb

Q*1=2aDR/b（b+R）

S*=2abD/R（R+b）

T*1=2aR/b（b+R）D（7.8）

可验证此为最优解.与不允许缺货的模型（7.1）相比，可以看出此模型有如下特点：

(1)　订货周期延长，订货次数在减少.

T*=2a（b+R）/RDb2a/Db

(2)　订货量在增加.

Q*=2aD（b+R）/Rb2aD/b

(3)　总费用在减少.此时

f*=2abDR/（b+R）+PD

(4)　如让R→+∞，此相当于不允许缺货，RR+b→1，则两模型最优解一致.

T*→2a/Db

T*1→2a/bD

Q*→2aD/b

Q*1→2aD/b

S*→0

f*→2abD+PD

例7.1.2设某工厂全年按合同向外单位供货10000件，每次生产的准备结束费用为1000元，每件产品年存储费用为4元，每件产品的生产成本40元，如不按期交货每件产品每月罚款0.5元,试求总费用最小的生产方案.

解：以一年为计划期，D=10000，P=40，a=1000，b=4，R=12×0.5=6，由公式（7.8）得

T*=2×1000×（4+6）6×4×10000≈0.2886（年）≈103.92（天）

Q*=2×1000×10000×（4+6）4×6≈

2886.75（件）

Q*1=2×1000×10000×64×（4+6）≈1732.05（件）

S*=2×1000×4×100006×（4+6）≈

1154.70（件）

T*1=2×1000×64×（4+6）×10000≈0.1732（年）≈62.35（天）

f*=2×1000×4×10000×6（4+6）+

10000×40=406928.20（元）

即工厂每隔104天组织一次生产，产量为2887件，最大存储量为1732件，最大缺货量为1155件.如果不允许缺货，总费用为

f*=2×1000×4×10000+10000×40=408944.27（元）

比允许缺货多了2016.07（元）。

3.　供应速度有限的不缺货库存问题

这种模型的特征是：物货的供应不是瞬时完成的，也不是成批的，而是以速率V（VD）均匀连续地逐渐补充，不允许缺货.在生产过程中的在制品流动就属于这种存储模型，这类模型也称为生产批量模型.存储量变化情况可用下图描述.

图74

设T为一个供货周期，T1为其内生产时间，设货物供应速度为V，消耗速度为D，在T内货物消耗（需要量）为DT，显然DT=VT1，即生产量与需求量相等.当存量为零时开始生产，库存量以速率V-D增加，库存量达到最大时停止生产，然后库存量以速率D减少，直到库存量为零时又开始下个周期的生产内的生产.

在一个周期内最高存储量为Q′=（V-D）T1，平均存储量为12（V-D）T1，订货量为Q=DT=VT1，存储费为12（V-D）T1b′（b′为一个周期单位存货存储费），订货手续费为a，货物的生产成本（购置费）为QP，则在计划期内的总费用最小的存储模型为：

minf=121-DVbQ+aDQ+DP（7.9）

由极值的必要条件：

dfdQ=12b1-DV-aD/Q2=0

解之得

Q*=2aDVb（v-D）

T*1=Q*/V=2aDbV（V-D）

f*=2abD（V-D）/V+DP（7.10）

由于V/（V-D）1

Q*2aDb

T*2abD

f*