1. 一次多项式曲线（直线）预测模型
直线趋势模型的表达式为
y∧t=a+bt
经计算可知，该模型的一阶差分都为b，因此当时间序列的散点图近似于一条直线，或时间序列各期数据的一阶差分大致相等时，可用直线趋势预测模型对时间序列进行预测.
直线趋势模型相当于是以时间t作为解释变量的一元线性回归模型，因此估计模型中的系数a和b可用最小二乘法，这在第一节中已经讨论过了，公式如下：
b=n∑ni=1tiyi-∑ni=1ti∑ni=1yin∑ni=1t2i-∑ni=1ti2，a=1n∑ni=1yi-b1n∑ni=1ti
实际中，为了计算方便，通常把时间原点取在时间序列期数的正中间，即当时间序列有n=2m+1个数据时，取tm=0，上述公式中ti依次为-m,-（m-1）,…,-1,0,1,…,m-1,m；当有n=2m个数据时，ti依次为-（2m-1）,-（2m-3）,…,-1,1,…,2m-1,2m-3.这样就有∑iti=0，上述公式就简化为
b=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i，a=1n∑ni=1yi
例6.5已知某地区1999—2007年生产总值的资料如表65所示，试预测该地区2011年的生产总值.
表65某地区1999—2007年生产总值统计表单位：亿元
年份199920002001200220032004200520062007
生产总值505659646872778186
图62某地区生产总值的散点图（1999—2007）
解：该时间序列的散点图近似呈一条直线，且各期数据的一阶差分大致相等（见表66第三列），故建立直线趋势模型：y∧t=a+bt.由表65，可知∑yi=613，∑t2i=60，∑yiti=263，从而
b=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i=26360=4.38，a=1n∑ni=1yi=6139=68.11
所以y∧t=68.11+4.38t.将2011年对应的时间t=8代入趋势模型，即可得到该地区2011年生产总值的预测值为y∧2011=68.11+4.38×8=103.15亿元.
表66直线趋势模型预测法计算表
年份生产总值yi一阶差分Δyi时间tit2iyiti
199950—-416-200
2000566-39-168
2001593-24-118
2002645-11-64
(续表)
年份生产总值yi一阶差分Δyi时间tit2iyiti
2003684000
20047241172
200577524154
200681439243
2007865416344
合计613—060263
2. 二次多项式曲线（抛物线）预测模型
二次抛物线趋势模型的表达式为
y∧t=b0+b1t+b2t2
经计算可知，该模型的二阶差分都为2b2，因此当时间序列各期数据的二阶差分大致相等，或时间序列的散点图近似于一条由高而低再高或由低而高再低的曲线时，可用二次抛物线趋势预测模型对时间序列进行预测.
我们仍然用最小二乘法确定二次抛物线趋势模型中的系数b0,b1,b2.设时间序列的各期数据为yi（i=1,2,…,n），令
Q（b0,b1,b2）=∑nt=1（yi-y∧i）2=∑ni=1（yi-b0-b1ti-b2t2i）2
达到最小.如果仍把时间原点取在时间序列期数的正中间，那么根据高等数学多元函数的极值原理，可求得
b0=∑ni=1yi∑ni=1t4i-∑ni=1t2i∑ni=1t2iyin∑ni=1t4i-∑ni=1t2i2
b1=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i
b2=n∑ni=1t2iyi-∑ni=1yi∑ni=1t2in∑ni=1t4i-∑ni=1t2i2
例6.6某商店某种商品的销售量如表67所示，试预测2010年的销售量.
表67某产品销售量统计表单位：万件
年份199920002001200220032004200520062007
销售量10182530.535384039.538
图63某产品销售量的散点图（1999—2007）
解：该时间序列的散点图呈一条由低到高再低的曲线，且各期数据的二阶差分大致相等（见表68第四列），故建立二次抛物线趋势模型：y∧t=b0+b1t+b2t2.根据表68，将∑yi=274，∑t2i=60，∑t4i=708，∑yiti=214，∑yit2i=1613.5
代入公式，计算得b0=35.05，b1=3.57，b2=-0.69.所以二次抛物线趋势模型为
y∧t=35.05+3.57t-0.69t2
将2010年对应的时间t=7代入趋势模型，即可得到2010年商品销售量的预测值为
y∧2010=35.05+3.57×7-0.69×49=26.23万件.
表68二次抛物线趋势模型预测法计算表
年份销售量yiΔyiΔ2yi时间tit2it4iyitiyit2i
199910——-416256-40160
2000188—-3981-54162
2001257-1-2416-50100
200230.55.5-1.5-111-30.530.5
2003354.5-100000
2004383-1.51113838
2005402-1241680160
200639.5-0.5-2.53981118.5355.5
合计274——0607082141613.5
3. 指数曲线预测模型
（1） 一次指数曲线预测模型
大量研究表明，很多现象的发展相对于时间是按指数或接近指数规律增长的，例如文献的数量、飞机的速度、计算机的存储量和处理速度等，特别是技术发展的初期阶段、经济现象的发展过程都呈现指数曲线的趋势.一次指数曲线趋势模型的表达式为：
y∧t=a·bt
图64一次指数曲线的图形
其图形如图64所示，且ytyt-1=b.因此，当时间序列的散点图接近于图64的图形，或相邻两期数据比大致相等时，可用一次指数曲线趋势预测模型对时间序列进行预测.
对一次指数曲线趋势模型两边同时取对数，得
lny∧t=lna+lnb·t
令lny∧t=Y∧t，lna=A，lnb=B，就把一次指数曲线趋势模型转化为直线趋势模型
Y∧t=A+B·t
这样，要确定系数a和b，只需要先求出A和B，利用直线趋势模型中的系数公式，得
B=∑ni=1ti·lnyi∑ni=1t2i，A=1n∑ni=1lnyi
其中，时间原点仍取在时间序列期数的正中间，这样就可求出a=eA和b=eB.
（2） 修正指数曲线预测模型
虽然技术、经济现象在初始发展阶段往往呈现指数曲线趋势，但是任何事物的发展都有一个限度，不可能按指数规律无限的发展，这时用修正指数曲线模型更能符合时间序列的实际情况.修正指数曲线趋势模型的表达式为
yt=L-a·bt
其图形如图65所示，且一阶差分之比为b.因此，当时间序列的散点图接近于图65的图形，或各期数据的一阶差分之比大致相等时，可用修正指数曲线趋势预测模型对时间序列进行预测.
图65修正指数曲线的图形
为了计算修正指数曲线趋势模型中的系数L,a,b，我们将时间序列的数据分成三等份（若不能完全三等份，由于近期数据对预测的影响大于早期数据，所以删除时间序列一项或两项早期数据），则有
∑1y=∑n3t=1yt=∑n3t=1（L-a·bt）=n3L-abbn3-1b-1
∑2y=∑2n3t=n3+1yt=∑2n3t=n3+1（L-a·bt）=n3L-abn3+1bn3-1b-1
∑3y=∑nt=2n3+1yt=∑nt=2n3+1（L-a·bt）=n3L-ab2n3+1bn3-1b-1
解此方程组，得
b=∑3y-∑2y∑2y-∑1yn3
a=∑1y-∑2yb-1b（bn3-1）2
L=3n∑1y·∑3y-∑2y2∑1y+∑3y-2∑2y
这种求系数的方法称为“三段和值法”.
例6.7某企业2001—2009年的利润资料如表69所示，试预测该企业2010年的利润.
表69某企业利润统计表单位：万元
年份200120022003200420052006200620082009
利润50606869.671.171.772.372.873.2
图66某企业利润的散点图
解：该时间序列的散点图如图66所示，各期数据的一阶差分的比率大致相等（见表610第四行），故建立修正指数曲线趋势模型：yt=L-a·bt.
表610修正指数曲线预测法计算表
年份200120022003200420052006200620082009
yt50606869.671.171.772.372.873.2
Δyt—1081.61.50.60.60.50.4
Δyt/Δyt-1——0.80.20.940.410.830.8
∑1y=178∑2y=212.4∑3y=218.3
根据表610，将∑1y=178，∑2y=212.4，∑3y=218.3，n=9代入公式，计算得b=0.556，a=22.272，L=73.174.所以修正指数趋势模型为
y∧t=73.174-22.722×0.556t
将2010年对应的时间t=10代入趋势模型，即可得到2010年企业利润的预测值为
y∧2010=73.174-22.722×0.55610=73.1万元