1.　问题的提出

轧制钢坯变成成品钢材通常要经过两道工序：第一道是粗轧（热轧），即形成钢材的雏形；第二道是精轧（冷轧），即得到钢材的规定长度.粗轧时由于设备、环境等随机因素的影响，钢材雏形的长度大体上服从正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，另其方差或标准差是由设备的精度确定，不能随意改动.容易知道钢材轧制中可以由以下两种情况造成浪费：情况一，粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时把多余的部分切掉，形成浪费；情况二，粗轧后的钢材长度小于规定长度，则整根无用，造成更大浪费.

请用数学模型研究如何调整粗轧后钢材长度的均值使得经两道工序后得到成品钢材时造成的总浪费最小.上述问题化成数学问题为：已知成品钢材的规定长度l和粗轧后钢材长度的标准差σ，如何调整粗轧后钢材长度的均值，使得总浪费最小.

2.　问题分析

记粗轧后钢材长度的均值为m（待定），另设粗轧后钢材长度为X，则X服从均值为m，方差为σ2的正态分布，即X~N(m,σ2).设X的密度函数为p(x)，则p(x)=12πσexp－(x－m)22σ2.

显然这是一个优化模型，关键在于选择适当的目标函数，并用l，σ和m把目标函数进行表达.

首先尝试以两种浪费长度之和作为目标函数.根据轧制过程中的两种浪费情况，一是当X≥l时，精轧时要切掉长为X－l的钢材，且切掉多余部分的概率为P(X≥l)=ΔP，P是图46中的阴影部分的面积；二是当X