1.　问题的提出

这个问题来自机械化生产车间里一个常见的场景：排列整齐的工作台旁工人们生产同一件产品，工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走（见图45）.当生产进入稳定状态后，每个工人生产出一件产品所需时间是不变的，而他要挂产品的时刻却是随机的.衡量这种传送系统的效率可以看它能否及时把工人们生产的产品带走，显然在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率会越高.

请在生产进入稳定状态后，构造一个衡量这种传送系统的效率的指标，并在适当的简化假设下建立数学模型来研究提高传送系统的效率的途径.

图45传送系统示意图

2.　问题分析

进入稳定状态后，为保证生产系统的周期性运转，需要假设工人们的生产周期（即生产一件产品的时间）相同，且工人们在生产出一件产品后，要么恰好有空钩子经过他的工作台，使他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，迫使他将产品放下并立即投入下一件产品的生产.

工人们的生产周期虽然相同，但是由于各种随机因素的干扰，在稳定状态下，他们生产完一件产品的时刻就不会一致，可以认为是随机的，并且在一个生产周期内任一时刻的可能性是一样的.

由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一个周期的效率，而一个周期的效率可以用它在一个周期内能带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述.

3.　模型假设

(1)　n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数;

(2)　生产进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能的;

(3)　一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；

(4)　每个工人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空（已被前面的工人挂上产品），则这件产品被放下，永远退出运送系统.

4.　模型的建立与求解

可以定义传送效率为一个周期内带走的产品数与生产的产品总数之比.易知一周期内生产的产品总数为n，另设一周期内运走的产品数为s，则传送带效率为D=s/n.为了确定D，只需从钩子的角度来确定s即可.

若设一个周期内任一个钩子非空的概率为p时，则s=mp，其中m为挂钩的个数.下面利用挂钩数m、工人数n来确定p的表达式.首先设一个周期内任一个钩子非空的逆事件（即一个周期内该钩子为空钩）的概率为q.事实上，任一个钩子被一个工人触到的概率是1/m，则任一个钩子不被一个工人触到的概率是1－1/m，利用独立性可知，q=(1－1/m)n，从而利用原事件与逆事件的概率关系得p=1－q=1－(1－1/m)n.

综上得传送带效率指标为

D=sn=mpn=mn1－1－1mn(4.7)

特别，在一个周期内的钩子数相对于工人数较大（即n/m较小）时，可以得到传送效率指标D的比较简单的结果：

D=mn1－1－1mn≈mn1－1－nm+n(n－1)2m2=1－n－12m(4.8)

注：上式“≈”处是将多项式1－1/mn展开后只取前三项所得.

由(4.8)式，当n??1时，可得传送带效率指标为

D≈1－n2m(4.9)

例如，当n=10，m=40时，分别利用(13.1.3)和(13.1.1)可得到D的近似解和精确解为D≈87.5%(89.4%).

5.　评注

定义一个周期内未带走的产品数与生产的产品总数的比例为E，则E=1－D.当n??1时，由(4.9)得E≈n2m.可见此时E与n成正比例，与m成反比例.所以当工人数n固定时，可采用增加钩子数m的方法来提高传送系统的效率.