1.　问题的提出

某私人诊所只有一位医生，已知来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的.若病人的到达服从泊松分布且每小时有4位病人到来，看病时间服从负指数分布，平均每个病人需要12分钟.试分析该诊所的工作状况.（即求该诊所内排队候诊病人的期望，病人看一次病平均所需的时间，医生空闲的概率等）

2.　模型的准备

本题是典型的排队论问题，也是一个典型的单通道服务排队系统.排队论也称随机服务系统理论，它涉及的排队现象非常广泛：如病人候诊，顾客到商店购物，轮船入港，机器等待修理等等.排队论的目的是研究排队系统的运行效率，估计服务质量，在顾客和服务机构的规模之间进行协调，以决定系统的结构是否合理，权衡决策，使其达到合理的平衡状态.在排队论中，判断系统运行优劣的基本数量指标通常有：

（1）　排队系统的队长，即指排队系统中的顾客数，它的期望值记为L.相应的排队系统中等待服务的顾客数，其期望值记为Lq.显然，L或Lq大，说明服务效率越低.

（2）　等待时间，即指一顾客在排队系统中等待服务的时间，其期望值记为Wq.相应的，逗留时间是指一个顾客在排队系统中停留的时间，即从进入服务系统到服务完毕的整个时间，其期望值记为W.

（3）　忙期，指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲止这段时间长度，即服务机构连续工作的时间长度.

另外还有，服务设备利用率，顾客损失率等一些指标.排队论中的排队系统有下列三部分组成：

（1）　输入过程，即顾客来到服务台的概率分布.在输入过程中要弄清顾客按怎样的规律到达.

（2）　排队规则，即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种.所谓即时制就是当服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是当服务台被占用时顾客便排队等待服务.等待制服务的次序规则有先到先服务，随机服务，有优先权的先服务等.

（3）　服务机构，其主要特征为服务台的数目，服务时间的分布.服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务.和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，但通常假定服务时间的分布是平稳的.

要解决这里的病人候诊问题，只要分析排队论中最简单的单服务台排队问题即可.所谓单服务台是指服务机构由一个服务员组成，对顾客进行单独的服务.下面通过对这类问题的分析和讨论来解决病人候诊问题.

3.　模型假设

(1)　顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客流平稳，不考虑出现高峰期和空闲期的可能性.

(2)　排队方式为单一队列的等待制，先到先服务.队长没有限制.

(3)　顾客流满足参数为λ的泊松分布，其中λ是单位时间到达顾客的平均数.

(4)　各顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布，其中μ表示单位时间内能服务完的顾客的平均数.

(5)　顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的.

4.　模型的分析与建模

为了确定系统的状态，引入Pn(t)表示在时刻t时排队系统中有n个顾客的概率.由假设知，当Δt充分小时，在[t,t+Δt]时间间隔内：有一个顾客到达的概率为λΔt，有一个顾客离开的概率为μΔt，多于一个顾客达到或离开的概率为o(Δt)，可忽略.

在[t,t+Δt]时刻系统内有n个顾客的状态可由下列四个互不相容的事件组成：

（1）　t时刻有n个顾客，在[t,t+Δt]内没有顾客到来，也没有顾客离开，其概率为(1-λΔt)(1－μΔt)Pn(t)；

（2）　t时刻有n个顾客，在[t,t+Δt]内有一个顾客到来，同时也有一个顾客离开，其概率为λΔtμΔtPn(t)；

（3）　t时刻有n-1个顾客，在[t,t+Δt]内有一个顾客到来，没有顾客离开，其概率为λΔt(1－μΔt)Pn(t)；

（4）　t时刻有n+1个顾客，在[t,t+Δt]内没有顾客到来，有一个顾客离开，其概率为(1-λΔt)μΔtPn(t).

因此，在t+时刻，系统中有n个顾客的概率为pn(t+Δt)满足：

pn(t+Δt)=pn(t)(1－λΔt－μΔt)+pn+1(t)μΔt+pn－1(t)λΔt+ο(Δt)

pn(t+Δt)－pn(t)Δt=λpn－1(t)+μpn+1(t)－(λ+μ)pn(t)+ο(Δt)Δt

令Δt→0得

dpn(t)dt=λpn－1(t)+μpn+1(t)－(λ+μ)pn(t),n=1,2,…(n≠0)

考虑特殊情形：

当n=0时，即在t+Δt时刻时系统内没有顾客的状态，同理，它由以下三个互不相容的事件组成：

（1）　t时刻系统中没有顾客，在[t,t+Δt]内没有顾客来，概率为(1-λΔt)P0(t)；

（2）　t时刻系统中没有顾客，在[t,t+Δt]内有一个顾客到达，接受完服务后又离开，其概率为λΔtμΔtP0(t)；

（3）　t时刻系统内有一个顾客，在[t,t+Δt]内该顾客离开，没有顾客来，其概率为(1-λΔt)μΔtP1(t)

所以dp0(t)dt=－λp0(t)+μp1(t)

因此就得到系统状态应服从的模型：

dp0(t)dt=－λp0(t)+μp1(t)

dpn(t)dt=λpn－1(t)+μpn+1(t)－(λ+μ)pn(t),n=1,2,…(n≠0)

5.　模型求解

为评估系统的服务质量，判断其运行特征，需要根据上面的模型求解该系统的如下运行指标：系统中平均顾客数L，系统中平均正在排队的顾客数Lq，顾客在系统中平均逗留时间W，顾客平均排队等待的时间Wq，系统内服务台空闲的概率，即顾客来后无需等待的概率p0.

所求得的模型，是有无限个方程组成的微分方程组，求解相当麻烦.在实际的应用中，我们只需要知道系统在运行了很长时间后的稳态解，即假设当t充分大时，系统的概率分布已不随时间变化，达到了统计平衡.

在稳态时,pn(t)与t无关,dpn(t)dt=0,pn(t)=pn,从而得到一差分方程：

－λp0+μp1=0

λpn－1+μpn+1－(λ+μ)p0=0,n≥1(4.6)

令ρ=λμ，它表示平均每单位时间内系统可以为顾客服务的时间比例，它是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称ρ为服务强度.我们的问题求解将在ρ