1.　问题的提出

正常人颅内有一定的压力，称为颅内压.颅高压是神经科的急危重症，是神经内外科病人死亡的第一原因.因此颅内压值的测定对临床治疗的决策起至关重要的作用.目前，颅内压的定量测定均使用创伤性的方法.创伤性方法对患者的身体具有损害，且当患者出现急性颅内压增高而需要尽快获得实时的颅压值时，创伤性的方法显然不适宜.

大量动物实验及临床脑血管造影观察表明脑血循环和颅内压的改变关系密切.下表一数据来自北京市人民医院神经外科研究人员对5只兔子的实验数据，其中ICP代表颅内压；V代表脑血流速度.试根据此数据建立兔颅内压增高与脑血流速度的关系的数学模型.

表41急性ICP增高与对应的V值

ICP(KPa)V(Hz/s)

0.98832

1.96770

3.92617

4.90268

8.130

2.　问题的分析与假设

颅内压与很多因素有关，血流速度是其中最重要的一个，简化起见这里只考虑与血流速度的关系.本问题只给出了有限的实验数据点，因此通常可以想到用插值、拟合或回归的方法来求出颅内压与血流速度的关系.考虑到颅内压与血流速度的随机因素，这里选用回归的方法来确定颅内压与血流速度的关系.注意到由于医学上已有的关于颅内压和血流速度的定性关系较为丰富，建立基于微分方程的参数辨识模型也是可能的.因为所给数据由实验得到，难免有误差，这里认为它们是基本反映事实的，而不考虑实验动物或实验仪器本身不正常的特殊情况.

3.　模型的建立与求解

将表一中的数据作图，横轴代表颅内压，纵轴代表血流速度，可以得到下面这张图.

图41数据图

根据回归分析的使用经验可知，回归分析常用于这样的情况：虽然变量Y与变量X之间有一定的关系，但这种关系与通常的函数关系不同，Y的值不能由X的值精确确定.这里的颅内压与血流速度的关系即属于这种情形.事实上影响或反映颅内压变化的因素很多，血流速度只是其中之一，只不过一般医学界认为它是一种主要因素，因此考虑它们二者的关系用回归分析是可行的.

设血流速度为V，颅内压为P，如果用直线回归方法，则有回归式如下：

V=β0+β1×P+ε(4.1)

其中，ε是随机误差，其数学期望为零.确定未知系数β0、β1的常用方法是最小二乘法，计算结果如下：

β0~=987.343，β1~=－123.163

利用Mathematica　4.0得到如下图形，图中的五个点是已知点:

图42线性回归

观察图形可知，直线回归效果并不是很好.根据散点图尝试采用指数回归，可以获得如下回归式：

V=β0+β1×Exp－P53+ε（4.2）

经计算得到回归方程

V=－10.948+860.032Exp－P53+ε

对应图形如下:

图43指数回归

很明显，从图形上和从实际的误差分析来看这个结果都要好得多.

这里用微分方程的方法建立另外一个模型，以给出一个更好的结果.由已知的五个点的图形可以假设所求函数的图像应为一个S型曲线，于是想到利用Logistic递减模型.利用颅内压与血流速度的变化特点，可以建立颅内压—血流速度的Logistic模型：

dVdP=rVv0－1V（4.3）

式中，r代表单位颅压的变化引起的血流速度的变化率；V代表血流速度；P代表颅内压；v0代表平均正常血流速度；dVdP代表血流速度的变化.

可以看出，右边是一个小于0的数，说明在颅压升高的过程中血流速度是不断减小的.对等式（3）进行变换得：

dVdP=rVv0－1V=rv0V－v022－v0×r4(4.4)

从变换结果容易看出，血流速度V从v0减小到v02的过程中，dVdP不断减小，并且当达到v02时，dVdP达到最小值，即此时颅内压变化对血流速度的影响最大；当血流速度由v02减小到0时，dVdP不断增加，不断趋近于0.令v0=832，对此模型进行求解，得到：

V=8321+eP·r+c

其中c为积分常数.

采用Newton??Gauss法，对该函数在已知数据点进行最小二乘估计来确定模型参数r、v，得结果为：r=1.74644，c=-7.84331.则函数最终关系确定为：

V=8321+e1.74644×P－7.84331（4.5）

由此可得PV关系图：

图44Logistic模型

4.　模型结果评价

我们分别用不同的方法建立了两个模型，其中第二个模型由于利用了颅内压变化对血流速度的一些结果，从而得到更符合实际的颅内压变化与血流速度的关系模型.临床的实验结果有“颅内压增高至3.50KPa时，脑血流量开始有明显下降，而在此之前变化不大”.这与我们CPV关系的Logistic模型的计算结果极为吻合.