医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制.但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命.在发展中国家，传染病的流行仍十分严重；即使在发达国家，一些常见的传染病也未绝迹，而新的传染病还会出现，如艾滋病（AIDS）等.有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传染过程的定量研究具有重要的现实意义.
传染病流行过程的研究与其他学科有所不同，不能通过在人群中实验的方式获得科学数据.事实上，在人群中作传染病实验是极不人道的.所以有关传染病的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中获取.这些数据往往不够全面，难以根据这些数据来准确地确定某些参数，只能大概估计其范围.基于上述原因，利用数学建模与计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一.
1. 问题提出
上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病**的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？
2. 问题分析
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化.
我们把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类，感病者（Infective），指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人.
3. 建立模型
(1) SI模型1
SI模型是指易感者被传染后变为得病者且经久不愈，不考虑移出者，人员流动图为：
S→I.
假设：
① 每个病人在单位时间内传染的人数为常数k0.
② 一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡.
记时刻t的得病人数为i(t)，开始时有i0个传染病人，则在Δt时间内增加的病人数为
i(t+Δt)－i(t)=k0i(t)
于是得：
di(t)dt=k0i(t)
i(0)=i0
其解为：i(t)=i0ek0t.
模型分析与解释：这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不符.事实上，一个地区的总人数大致可视为常数（不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数），在传染病传播期间，一个病人单位时间内能传染的人数k0则是在改变的.在初期，k0较大，随着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是k0就会变小.
(2) SI模型2
记时刻t的健康者人数为s(t)，假设
① 总人数为常数n，且i(t)+s(t)=n.
② 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）.
③ 一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡.
可得方程：
di(t)dt=ks(t)i(t)
i(0)=i0，即di(t)dt=ks(n－i)
i(0)=i0
解得：i(t)=n1+ni0－1e－knt.
模型分析：可以解得didt的极大值点为：t1=lnni0－1kn.这可以表示传染病高峰时刻.当传染强度k增加时，t1将变小，即传染高峰来得快，这与实际情况吻合.但当t→∞时，i(t)→n，这意味着最终人人都将被传染，显然与实际不符.
(3) 带宣传效应的SI模型3
假设:① 单位时间内正常人被传染的比率为常数r.
② 一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡.
我们得方程：di(t)dt=r(n－i)
i(0)=i0，解得：i(t)=n1－1－i0ne－rt，这表明最终每个人都要传染上疾病.
我们假设，宣传运动的开展将使得传染上疾病的人数减少，减少的速度与总人数成正比，这个比例常数取决于宣传强度.若从t=t00开始，开展一场持续的宣传运动，宣传强度为a，则所得的数学模型为：
di(t)dt=r(n－i)－anH(t－t0)
i(0)=i0
其中：H(t－t0)=1,t≥t0
0,t1是一个门槛，这与实际很符合，即人口越多，传染率越高，从得病到治愈时间越长，传染病越容易流行.
(5) SIR模型
SIR模型是指易感者被传染后变为感病者，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移出者.人员流动图为：S→I→R.
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非易感者，也非感病者，因此他们将被移出传染系统，我们称之为移出者，记为R类.
假设：① 总人数为常数n，且i(t)+s(t)+r(t)=n；
② 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）.
③ 单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为l，称为恢复系数.
可得方程：
didt=ksi－li
dsdt=－ksi取初值：i(0)=i00
s(0)=s00
r(0)=r0=0
模型分析：由以上方程组得：dids=ρs－1,ρ=1k，所以i=ρlnss0－s+n，容易得出limt→0i(t)=0；而当s0ρ时，i(t)先单调上升到最高峰，然后再单调下降趋于零.所以这里仍然出现了门槛现象：ρ是一个门槛.从ρ的意义可知，应该降低传染率，提高恢复率，即提高卫生医疗水平.
令t→∞可得，ρlns∞s0－s∞+n→0，假定s∞≈0，可得：s0－s∞≈2s0(s0－ρ)ρ，所以若δ??ρ,s0=δ+ρ，此时，s0－s∞≈2δ，这也就解释了本文开头的问题，即同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变.
习题三
1. 一地区人口的增长率与总数成正比，如果人口在24年内由100增长到400，那么12年后人口会是多少？
2. 饮酒驾车的危害性,已受到交通部门乃至全社会的高度重视.国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）.那么，对于一个驾驶员，他能不能饮酒？饮酒后在多长时间内不能开车？针对这些问题，分析酒精在人体内的扩散过程，在一定简化、假设的基础上，寻找酒精在人体中吸收、消除的规律，建立体液(或血液)中酒精残留的数学模型.
3. 随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制.但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来.20世纪80年代，十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来了极大的危害.
长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.用指数模型、Logistic模型、SIS模型说明机理过程.
4. 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，如测定时间为4秒，试建立数学模型解决这问题.
5. 在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼.显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线.试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线.
第四章随机模型
第四章随机模型
在现实世界中，不确定现象是普遍存在的.例如，漂浮在液面上的微小粒子不断地进行着杂乱无章运动，粒子在任一时刻的位置是不确定的；又如公共汽车站等车的人数在任一时刻也是不确定的，因为随时都可能有乘客的到来和离去.这类不确定现象，表面看来无法把握，其实，在其不确定的背后，往往隐藏着某种确定的概率规律，因此，以概率和数理统计为基础的随机模型就成为解决此类问题最有效的工具之一.
依随机规律是否随时间的变化而变化，随机模型可分为静态和动态两类，前者只涉及到随机变量（向量）的概率分布及其数字特征，后者则要处理随机过程和随机微分方程.
静态随机模型常见应用有：钓鱼问题、报童的策略、电梯问题、经济轧钢问题等.事情变化受着众多因素的影响，这些因素根据其本身的特性及人们对它们的了解程度，可分为确定的和随机的.如果从建模的背景、目的和手段来看，主要因素是确定的，而随机因素可以忽略或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，则建立确定性模型.如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，且可以通过分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，就应该建立一类随机模型——概率模型；如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，那么通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立另一类随机模型——统计回归模型.
这里将介绍随机模型，并用概率统计知识解决这些问题.