1.　问题的提出

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预定票业务.公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用.当然也可以订票时只订座，登机时才付款.但是，此种预定票业务在下面的两种情况下会给航空公司带来损失.

开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞机的容量，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本.而如果不限制预订票数量，那么当持票按时前来登机的乘客数超过飞机容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公司不管以什么方式补救，也会导致声誉受损和一定的经济损失，如客源减少、挤掉以后班机的乘客、公司无偿供应食宿、付给一定的赔偿金等.

试建立数学模型在综合考虑经济利益和社会声誉两个因素来研究预订票数量的最佳限额.

2.　问题分析

公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登机，但因满员不能飞走的乘客（以下称被挤掉者）限制在一定数量为标准.

注意到经济利益和社会声誉均可表示为以不按时来的乘客数作为自变量的函数，而预订票的乘客是否按时前来登机是随机的，所以不按时来的乘客数是随机变量，即经济利益和社会声誉两个指标都应该在统计平均意义下衡量.

综上，这是个双目标优化问题，决策变量是预订票数量的限额.

3.　模型假设

(1)　飞机容量为常数n，飞行费用为常数r，r与乘客数量无关（实际上关系很小），机票价格g为常数，且按照g=r/λn来制订，其中λ(n)，每位乘客不按时前来登机的概率为p，各位乘客是否按时前来登机相互独立;

(3)　每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b.

4.　模型的建立与求解

(1)　公司的经济利益指标

设预订票数量的限额为m情况下，预订票后不按时来的乘客数为X，由假设2易知X服从二项分布，即X~B(m,p)，则机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润可表示为X作为自变量的函数形式

g(X)=(m－X)g－r,m－X≤n

ng－r－(m－X－n)b,m－Xn(4.16)

所以平均利润为E(g(X))=ΔS(m)，即

S(m)=∑m－n－1k=0［(ng－r)－(m－k－n)b］P(X=k)+

∑mk=m－n［(m－k)g－r］P(X=k)(4.17)

其中P(X=k)=Ckmpkqm－k,q=1－p.

由概率论知识有∑mk=0P(X=k)=1,∑mk=0kP(X=k)=E(X)=mp成立，所以易得

S(m)=qmp－r－(g+b)∑m－n－1k=0(m－k－n)P(X=k)(4.18)

当n、g、r和P(X=k)给定后可以求m使S(m)最大.

(2)　公司的社会声誉指标

综合考虑社会声誉和经济利益两方面，应该要求被挤掉的乘客不要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标.记被挤掉的乘客数超过j人的概率为Pj(m)，因为被挤掉的乘客数超过j人，等价于m位预定票的乘客中不按时前来登机的不超过m－n－j－1人，所以

Pj(m)=∑m－n－j－1k=0P(X=k)(4.19)

对于给定的n，j，显然当m=n+j时不会有被挤掉的乘客，即Pj(m)=0.而当m变大时Pj(m)单调增加.

综上，这是一个双目标优化问题，且分别以S(m)和Pj(m)作为两个目标函数，但是可以将Pj(m)不超过某给定值作为约束条件，以S(m)为单目标函数来求解.

5.　模型求解

为了减少S(m)中的参数个数，取S(m)除以飞行费用r为新的目标函数J(m)，其含义是单位费用获得的平均利润，注意到假设1中有g=r/λn，由(4.17)可得

J(m)=1λnqm－1+bg∑m－n－1k=0(m－k－n)P(X=k)－1(4.20)

其中b/g是赔偿金占机票价格的比例.问题化为给定λ，n，p，b/g，求m使得J(m)最大，而约束条件为

Pj(m)=∑m－n－j－1k=0P(X=k)≤α(4.21)

其中α是小于1的正数.

上述模型无法解析地求解，因此设定几组数据，用计算机做数值计算.取n=300，λ=0.6，p=0.05和0.1，b/g=0.2和0.4，计算J(m)，P5(m)，P10(m)，结果见表43.

表43n=300时的计算结果

m

p=0.05

J

b/g=0.2b/g=0.4P5P10

3000.58330.583300

3020.59390.593900

3040.60440.604400

3060.61500.61500.00000

3080.62540.62540.00000

3100.63530.63510.00070

3120.64390.64340.00660.0000

3140.65030.64920.03410.0002

3160.65400.65170.11230.0023

3180.65510.65120.26120.0160

3200.65430.64850.46300.0650

3220.65230.64450.66660.1780

3240.64990.63980.82500.3583

3260.64720.63500.92240.5681

3280.64440.63000.97080.7533

3300.64170.62500.99070.8810

(续表)

m

p=0.1

J

b/g=0.2b/g=0.4P5P10

3000.50000.500000

3020.51000.510000

3040.52000.520000

3060.53000.53000.00000

3080.54000.54000.00000

3100.55000.55000.00000

3120.56000.56000.00000.0000

3140.57000.57000.00000.0000

3160.58000.58000.00000.0000

3180.58990.58990.00010.0000

3200.59980.59970.00060.0000

3220.60930.60910.00270.0000

3240.61810.61780.00970.0002

3260.62580.62520.02870.0013

3280.63200.63070.06990.0052

3300.63620.63390.14390.0171

3320.63840.63480.25480.0458

3340.63880.63360.39560.1024

3360.63770.63060.54840.1949

3380.63560.62650.69170.3224

3400.63290.62170.80860.4719

3420.62980.61650.89230.6225

3440.62660.61100.94510.7542

取n=150其他不变，得下表44.

表44n=150时的计算结果

m

p=0.05

J

b/g=0.2b/g=0.4P5P10

1500.58330.583300

1520.60440.604400

1540.62450.624400

1560.64080.63990.00050

1580.65000.64700.01820

1600.65190.64570.12560

1620.64900.63890.37290.0041

1640.64430.62980.66380.0548

1660.63890.62000.86780.2344

1680.63330.61000.96150.5228

1700.62780.60000.99150.7809

m

p=0.1

J

b/g=0.2b/g=0.4P5P10

1500.50000.500000

1520.52000.520000

1540.54000.540000

1560.56000.56000.00000

1580.57970.57970.00000

1600.59850.59820.00050

1620.61480.61390.00560.0000

1640.62670.62450.03070.0001

1660.63300.62850.10600.0019

1680.63400.62630.25450.0140

1700.63110.61960.46020.0600

1720.62590.61030.66940.1709

1740.61980.59980.83080.3530

1760.61330.58880.92790.5682

6.　结果分析

(1)　对于所取的各个n，p，b/g，平均利润J(m)随着m的变大都是先增加再减少，但是在最大值附近变化很小，而被挤掉的乘客数超过5人和10人的概率增加得相当快，所以应该参考J(m)的最大值，给定约束条件(420)式中可以接受的α，确定合适的m.

(2)　对于一定的n，p，当b/g由0.2增加到0.4时J(m)的减少不超过2%，所以不妨付给被挤掉的乘客以较多的赔偿金，赢得社会声誉.

(3)　综合考虑经济效益和社会声誉，给定P5(m)