1.　问题的提出

大到一个国家的国民产值，小到一个企业中某种产品的生产量，其值通常取决于相关的生产资料和劳动力等重要因素.而这些量之间究竟存在何种依赖关系，进而劳动生产率提高的条件是什么？

2.　模型假设

(1)　生产量Q，只取决于两个重要因素：生产资料K（厂房、设备、技术革新等）和劳动力L（数量、素质等），即Q=f(K,L)；另外，这几个量又是随着时间t的变化而不断改变的，因此也把它们视为时间t的函数：Q(t）、K(t）、L(t），在劳动生产率增长的条件的讨论中，L(t）服从指数增长规律，相对增长率为常数ρ，而K(t）的增长率正比于生产量Q(t），即将Q(t）按照某一固定比率σ用于生产（资料）性扩大再生产投资；

(2)　劳动生产率Z可由生产量Q与劳动力L之比来表征.

3.　模型建立与求解

定性分析，在正常情况下，生产资料越多，可以达到的生产量就越多；另外，在劳动力越多时，如果不考虑会产生人员冗余致使劳动效率的极端低下，则生产总量也会越多.因此，Q=f(K,L)关于K,L均单调递增，即??Q??K,??Q??L≥0.

(1)　道格拉斯（Douglas）生产函数

在实际生产中，人们关心的往往是生产的增产量，而不是绝对量.因此，我们定义生产资料指数iK、劳动力指数iL与总产量指数iQ分别为

iQ(t)=Q(t)Q(0),iL(t)=L(t)L(0),iK(t)=K(t)K(0)（3.11）

显然，这三个量与度量单位无关，又分别称之为“无量纲化”的生产资料、劳动力与总产量.

例如，在下面的附表中，列出了美国马萨诸塞州1890~1926年的生产资料指数iK、劳动力指数iL与总产量指数iQ的一组统计数据，取1899年为基年，即t=0.则iQ(6)=1.42,iL(6)=1.3,iK(6)=1.37这与当时生产资料、劳动力以及总产量的具体数量无关.

表31美国马萨诸塞州1890~1926年iK,iL,iQ数据

tiK(t)iL(t)iQ(t)tiK(t)iL(t)iQ(t)tiK(t)iL(t)iQ(t)

-90.950.780.72

-80.960.810.78

-70.990.850.84

-60.960.770.73

-50.930.720.72

-40.860.840.83

-30.820.810.81

-20.920.890.93

-10.920.910.96

01.001.001.00

11.041.051.05

21.061.081.18

31.161.181.29

41.221.221.30

51.271.171.30

61.371.301.42

71.441.391.50

81.531.471.52

91.571.311.46

102.051.431.60

112.511.581.69

122.631.591.81

132.741.661.93

142.821.681.95

（续表）

tiK(t)iL(t)iQ(t)tiK(t)iL(t)iQ(t)tiK(t)iL(t)iQ(t)

153.241.652.01

163.241.622.00

173.611.862.09

184.101.931.96

194.361.962.20

204.771.952.12

214.751.902.16

224.541.582.08

234.541.672.24

244.581.822.56

254.581.602.34

264.581.612.45

274.541.642.58

表31显示，在正常的经济发展过程中（除个别年份外，如1908年），上述三个指标都是随时间增长的，但是，我们很难直接从表上发现具体的经济规律，为了定量分析，我们定义两个新变量

ξ(t)=lniL(t)iK(t),ψ(t)=lniQ(t)iK(t)(t=－9,...,27)（3.12）

根据表中数据，在ξ~ψ直角坐标系上作{(ξ(t),ψ(t))|t=－9,…,27}的散点图，发现ξ，ψ基本上服从正比例关系（散点位于一条通过原点的直线附近），（见图36）.

图36附表的(ξ,ψ)图

利用数据拟合，作一元线性回归曲线，可得

ψ=0.733674ξ.

这一结果并非偶然，事实上它被后来更多地区或国家的统计数据所肯定：存在常数γ∈(0,1），使得ξ，ψ之间的关系为

ψ=γ·ξ（3.13）

当然对常数γ∈(0,1），其取值通常和相应地区或国家的经济发展阶段以及主要产业结构类型等因素有关.由上三式，可得：

iQ=iγL·i1－γK（3.14）

即

Q=a·Lγ·K1－γ（3.15）

其中a=Q(0)L－γ(0)K－(1－γ)(0)，这就是著名的Cobb??Douglas（柯布—道格拉斯）生产函数.

对(3.15)式两边取对数，然后再对t求导，得到

Q′Q=γL′L+(1－γ)K′K（3.16）

即生产量Q、生产资料K和劳动力L三者的相对增长率服从简单的线性规律.其中系数γ、(1-γ）分别为产量对劳动力、生产资料的弹性系数，表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，其经济含义为：当r→1－0时，产量增长率对劳动力增长率的响应要比对生产资料增长率的响应大得多；反之，当r→0+0时，产量增长率对劳动力增长率的响应要比对生产资料增长率的响应小得多.

我们得到了经济增长率的表达式（3.16）.但除非我们知道劳动力和生产资料的增长率，否则无法从（3.16）式得到产量增长率的表达式.

(2)　劳动生产率增长的条件

根据模型假设，劳动生产率Z(t)=Q(t)/L(t)，其持续增长的条件应为Z′(t)0恒成立.考虑我们讨论的几个主要经济变量通常均恒取正值，故可以等价地用劳动生产率的相对增长率Z′(t)/Z(t)0来表示.

将Q=a·LγK1－γ代入Z(t)=Q(t)/L(t)，得

Z(t)=a·Lγ－1(t)·K1－γ(t)，

两边同时取对数，然后对t求导，可得：

Z′Z=(1－γ)·K′K－L′L（3.17）

令上式恒取正值，得等价条件：K′KL′L恒成立，即对生产资料投入的相对增长率恒大于劳动力的相对增长率.

根据模型假设1，K(t)、L(t)满足如下初值问题：

L′=ρ·L

K′=σ·Q

Q=a·K1－γ·Lγ

K(0)=K0L(0)=L0

解之，得

L(t)=L0ept，Kγ(t)=Kγ0+σ·aρLγ0·(eρ·γ·t－1)（3.18）

因此，就这一具体经济增长模式，

K′K－L′L=K′(0)K0－L′(0)L0·K0Kγ（3.19）

其恒取正值的充分必要条件为

K′(0)K0－L′(0)L00.

其经济意义为：只要在初始时，生产资料的相对增长率大于劳动力的相对增长率，就能保证劳动生产率的不断增长，反之，劳动生产率会不断降低.由此可见早期投资是有决定性意义的.

由（3.17）、（3.19）式，得

Z′Z=(1－γ)K′(0)K0－L′(0)L0K0Kγ

结合（3.18）式，知当t→∞时上式右端趋于零，这说明劳动生产率最终趋于一常数值.

4.　模型应用

实际生产往往不只两种生产资料，但是如果我们认为：劳动是指人类在生产过程中提供的体力和智力的总和，而资本包括实物形式的生产资料等资本产品和货币形式的资本.则可以认为企业生产产品时，仅考虑两种可变生产要素：劳动和资本，简化模型，进行大概的预测.

5.　点评与讨论

在本文中Cobb??Douglas生产函数的给出，是通过对大量统计数据分析的基础上得到的.统计分析方法是一类重要的数学建模途径：首先对一些变量或其导出变量之间的关系，根据统计数据作定性的分析判断.比如文中提及的借助对一些变量统计数据的散点图的直观表现作定性分析.然后再用数据拟合等方法给出相应变量间的具体函数依赖关系.另外一类建模方法这里称之为机理分析方法，尽管一些变量间的依赖关系难于把握，但它们的某些导出变量之间所服从的规律却是相对简单的，比如一些变量的变化率、相对变化率等.这样，我们通常首先得到的是我们所关心的变量的一些微分方程（组）或积分方程（组），然后通过解析的或数值的方法给出具体的解，这样的例子可参考几个人口增长模型的建立.

另外，尽管Cobb??Douglas生产函数的导出在本文中介绍的是采用统计分析方法的途径，但对其最终形式的表现，我们注意到有如下特点：

Q=a·Lα·Kβ

其中α，β∈(0,1），且α+β=1.若用财富的单位来统一考察生产量Q、生产资料K和劳动力L等三个量，生产函数的形式符合量纲齐次原则.量纲分析是20世纪初被提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，其方法的核心思想是量纲齐次原则，即要求当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲一致.事实上，对生产值（量）的影响因素的研究已不局限于生产资料和劳动力两个方面，而是将诸如科技进步、教育投入等比较重要的量作为独立的生产要素加以讨论，所用模型是对Cobb??Douglas生产函数的扩展，而上述量纲齐次原则被先验地利用起来.