1. 问题的提出
影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素.本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局.
2. 模型假设
甲乙两支部队互相交战，设x(t)、y(t)分别表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，其中t是从战斗开始时以天为单位计算的时间.x(0)=x0、y(0)=y0分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然x0,y00.在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）.这些因素转化为数量非常困难.为此，我们作如下假定把问题简化.
(1) 设x(t)、y(t)为双方的士兵人数；
(2) 设x(t)、y(t)是连续变化的，并且充分光滑；
(3) 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y)、g(x,y)分别表示甲乙双方的战斗减员率；
(4) 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数α，β0分别对应甲乙双方；
(5) 每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以u(t),v(t)表示.
3. 模型建立
根据假设，可以得到一般的战争模型如下：
x′(t)=－f(x,y)－α·x+u(t)
y′(t)=－g(x,y)－β·y+v(t)
x(0)=x0,y(0)=y0.
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率f(x,y)、g(x,y)的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素.
3.4.1模型一正规作战模型
1. 模型假设
(1) 不考虑增援，并忽略非战斗减员；
(2) 甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上.因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比例关系，以b、a分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力，称为战斗有效系数.若以rx、ry分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以px、py分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有a=ry·py、b=rx·px.
2. 模型建立
根据模型假设1，结合一般的战争模型，可得正规作战数学模型的形式应为：
x′(t)=－f(x,y)
y′(t)=－g(x,y)
x(0)=x0,y(0)=y0.
又由假设2，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x,y)=ay,g(x,y)=bx.
于是得正规作战的数学模型：
x′=－ay
y′=－bx
x(0)=x0,y(0)=y0
3. 模型求解
模型是微分方程组，其解拆解不太容易求出.不过我们也可不求其解.直接分析战争的结局，我们可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局.为此，我们引入如下定义。
定义：相平面是指把时间t作为参数，以x,y为坐标的平面.
轨线是指相平面中由方程组的解所描述出的曲线.
现在，我们来求解轨线方程.将模型方程的一式除以二式，得到
dxdy=－ay－bx，
即
bx·dx=ay·dy，
进而得该模型的解满足：
bx2－ay2=K，
其中K=bx20－ay20.
4. 战争结局分析
模型解确定的图形是一条双曲线，如图33所示.箭头表示随着时间t的增加，x(t)、y(t)的变化趋势.而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投降或被歼灭）的一方为败.因此，如果K0时，甲方获胜.而当K=0时，双方战平.
图33平方律的双曲线
不难发现，甲方获胜的充要条件为
bx20－ay200，
即
bx20ay20.
代入a、b的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
rx·px·x20ry·py·y20，
从其形式，可以发现一种用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战斗力的评价函数可取为rx·px·x2，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、士兵一次射击的（平均）命中率（士兵的个人素质）、士兵数的平方均服从正比例关系，这样在三个因素中当只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，显然要选士兵数的增加，它可以带来部队综合战斗力四倍的提升.因此，正规作战模型又被称为平方律模型.
5. 模型应用
正规作战模型在军事上得到了广泛的应用，主要是作战双方的战斗条件比较相当，方式相似.J.H. Engel就曾经用正规战模型分析了著名的硫磺岛战役，发现和实际数据吻合得很好.
3.4.2模型二游击作战模型
1. 模型假设
(1) 不考虑增援，忽略非战斗减员；
(2) 甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的.因此，甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会越大，显然二者服从正比例关系，这样对方投来的一枚炮弹的平均杀伤力（期望值）也会服从正比例关系增加；
(3) 若以Sx、Sy分别表示甲乙双方的有效活动区域的面积，以sx、sy分别表示甲乙双方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，以rx、ry分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，Sx、Sy、rx、ry主要取决于部队的武器装备的性能和贮备；rx、ry也取决于士兵的个人素质.所以甲方的战斗有效系数d=rxsxSy，乙方的战斗有效系数c=rysySx.
2. 模型建立
与正规作战模型相同，据模型假设1，得游击作战模型的形式也为：
x′(t)=－f(x,y)
y′(t)=－g(x,y)
x(0)=x0,y(0)=y0.
由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x,y)=cxy,g(x,y)=dxy.
结合以上两表达式，并代入c、d的值，可得游击作战的数学模型：
x′=－ry·sy·xSx·y
y′=－rx·sx·ySy·x
x(0)=x0,y(0)=y0
3. 模型求解
从模型方程得到
rx·sx·Sx·dx=ry·sy·Sy·dy，
进而可得该模型的解满足：
rx·sx·Sx·x－ry·sy·Sy·y=L，
结合初始条件，知
L=rx·sx·Sx·x0－ry·sy·Sy·y0.
4. 战争结局分析
模型解所确定的图形是直线，如图34所示.像分析正规作战模型一样，可知L0时甲方获胜，L=0时，双方战平.
图34线性律
不难发现，甲方获胜的充要条件为
rx·sx·Sx·x0－ry·sy·Sy·y00，
即
rx·sx·Sx·x0ry·sy·Sy·y0.
从其形式，可以发现一种用于游击作战部队的综合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战斗力的评价函数可取为rx·sx·Sx·x，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、炮弹的有效杀伤范围的面积、部队的有效活动区域的面积、士兵数四者均服从正比例关系，这样在四个要素中当只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，它们均可以带来部队综合战斗力成倍的提升，即没有像在正规作战模型中所表现出的差别.特别考虑士兵数在表达式中的地位，游击作战模型又被称为线性律模型.
3.4.3模型三混合作战模型
1. 模型假设
(1) 不考虑增援，忽略非战斗减员；
(2) 甲方以游击作战方式，乙方以正规作战方式；
(3) 以b、c分别表示甲乙双方的战斗有效系数，若以rx、ry分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，以px、py分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，以Sx表示甲方的有效活动区域的面积，以Sy表示乙方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，则b=rxpx，c=ry·sySx.
2. 模型建立
根据对正规作战和游击作战的分析，得混合作战的数学模型：
x′=－c·x·y
y′=－b·x
x(0)=x0,y(0)=y0
3. 模型求解
从模型方程得到该模型的解满足：
2bx-cy2=M
其中M=2bx0－cy20, c=ry·sysx
4. 战争结局分析
模型解所确定的图形是一条抛物线，如图35所示.可知M0时甲方获胜，M=0时，双方战平.
图35抛物律
并且，乙方获胜的充要条件为
2rxpxSxx0－rysyy010，乙方必须10倍于甲方的兵力.
6. 点评与讨论
在战争模型里，我们应用了微分方程建模的思想.我们知道，一个战争总是要持续一段时间的，随着战争态势的发展，交战双方的人力随时间不断变化.
这类模型反映了我们描述的对象随时间的变化，我们通过将变量对时间求导来反映其变化规律，预测其未来的形态.譬如在战争模型中，我们首先要描述的就是单位时间双方兵力的变化.我们通过分析这一变化和哪些因素有关以及它们之间的具体关系列出微分方程.然后通过对方程组化简得出双方的关系.这也就是我们微分方程建模的步骤.