人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到“地球在变小”，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义.本节介绍几个经典的人口模型.

模型一人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus，　1766—1834）

1.　模型假设

(1)　时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r.

(2)　以P(t)表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数P(t)足够大，可以视做连续函数处理，且P(t)关于t连续可微.

2.　模型建立及求解

据模型假设，在t到t+Δt时间内人口数的增长量为

P(t+Δt)－P(t)=r·P(t)·Δt，

两端除以Δt，得到

P(t+Δt)－P(t)Δt=r·P(t)，

即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比.

令Δt→0，就可以写出下面的微分方程

dPdt=r·P

如果设t=t0时刻的人口数为P0，则P(t)满足初值问题

图31人口增长图

dPdt=r·P

P(t0)=P0（3.9）

下面进行求解，重新整理模型方程（3.9）的第一个表达式，可得

dPP=r·dt

两端积分，并结合初值条件得

P(t)=P0er(t－t0).

显然，当r0时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus模型）.如下图31　所示.

3.　模型检验

(1)　19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战.

(2)　注意到limt→∞P(t)=limt→∞P0er(t－t0)=+∞，而我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正.

4.　模型讨论

为了做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所作的假设和限制是非常必要的.

(1)　我们把人口数仅仅看成是时间t的函数P(t)，忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响.

(2)　假定P(t)是连续可微的.这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的.

(3)　人口增长率是常数r，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中.

(4)　模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生.

不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口.

模型二阻滞增长模型（Logistic）

一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在——或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远.在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源（包括自然资源、环境条件等因素）.随着人口的增长，资源量对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降.许多国家的实际情况都是如此.定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的.

1.　模型假设

(1)　地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用资源1/P*（这里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为P*）；

(2)　在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源s=1－P/P*成正比；比例系数r*表示人口的固有增长率；

(3)　设人口数P(t)足够大，可以视做连续变量处理，且P(t)关于t连续可微.

2.　模型建立及求解

由模型假设，可将人口数的净增长率r视为人口数P(t)的函数，由于资源对人口增长的限制，r(P)应是P(t)的减函数，特别是当P(t)达到极限承载人口数P*时，应有净增长率r(P)=0，当人口数P(t)超过P*时，应当发生负增长.基于如上想法，可令

r(P)=r*·s=r*·(1－P/P*).

用r(P)代替指数增长模型中的r导出如下微分方程模型：

dPdt=r*·P·(1-P/P*)

P(t0)=P0（3.10）

这是一个Bernoulli方程的初值问题，其解为

P(t)=P*1+P*P0－1·e－r*·(t－t0).

在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic模型）.其图形如图32所示.

图32Logistic模型

3.　模型检验

从图32可以看出，人口总数具有如下规律：

当人口数的初始值P0P*时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值P0