1.　问题提出

自然界中有的动物群体生活在资源有限的环境下，即具有有限的食物、生存空间和水等.选择一种鱼类或一种哺乳动物（例如北美矮种马、鹿、兔、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼等）以及一个能够获得所需数据的生存环境，制定一种获取该种动物的最佳方案.（本题为美国大学生数学建模竞赛（MCM）1985年问题A）

2.　建模分析

鲑鱼幼年时期生活在淡水河湖中，二至四岁期间迁徙到海中，在那里继续生活二至四年，成熟后洄游到淡水产卵，产卵期后的成年鱼迅速死亡.捕捞只在洄游过程中进行.

由于时间应以年计，跨度比较大，所以此问题适于用差分方程建模.把鲑鱼生命过程视为由两种不同环境组成的封闭系统，将河湖与海中的鱼群视为两个种群，二者的数量由迁徙与洄游规律相关联，并由与存活率有关的参数加以控制.建模的原理采用封闭系统中种群数量的守恒性.

采用离散时间，连续两个时刻的间隔为一年，以符号Lt和Ot依次表示第t年湖中与海中的鱼数.由前述可知，第t+1年湖中鱼的数量，等于过去一年中湖中鱼存活下来的并且未向海中迁徙的数量再加上从海中洄游回来的鱼产的卵孵化出的幼鱼数，此处强调一下洄游回来的鱼产卵期后迅速死亡，所以不再记入湖中鱼的数量.类似地，第t+1年海中鱼的数量，等于过去一年中海中鱼存活下来的并且未向河湖中洄游的数量再加上从湖中迁徙来且存活的鱼的数量.

我们还应该考虑自然资源对鱼群数量的限制，可以认为海中资源无限丰富，对鱼群数量没有限制.而湖中则不然，它的资源限制了鱼群的最大数量Lmax，引入指数项exp1－(Lt/Lmax)2模拟这一限制.

其次我们考虑一种简单的捕捞策略，即假设捕捞量与可捕鱼数成正比，以字母E表示捕捞强度，0≤E≤1.

3.　建立模型

引入如下参数

k1：卵被孵化成湖鱼的百分数.

k2：河湖中的鱼存活到下一年的百分数.

k3：每年未向海洋迁徙的湖鱼百分数.

k4：海中鱼群的年死亡率.

k5：每年洄游产卵的海鱼百分数.

k6：向海迁徙的鱼群存活率.

rb：一条雌鱼每年产卵期所产卵数.

我们可得到如下描写湖鱼与海鱼数量变化的差分方程组：

Lt+1=k2k3Lt+k1k5(rb/2)(1－k4)(1－E)Otexp1－(Lt/Lmax)2

Ot+1=(1－k3)k6Lt+(1－k4)(1－k5)Ot

其中，k2k3Lt表示过去一年中湖中鱼存活下来的并且未向海中迁徙的数量，k5(1－k4)Ot表示过去一年中海鱼洄游的数量，k5(1－k4）(1-E）Ot表示逃过捕捞洄游成功的海鱼数量，假定雌雄鱼各占一半，k1k5(rb/2)(1－k4)(1－E)Ot表示从海中洄游回来的鱼产的卵孵化出的幼鱼数.(1-k4）(1-k5)Ot表示过去一年中海中鱼存活下来的并且未向河湖中洄游的数量，(1-k3)k6Lt表示从湖中迁徙来且存活的鱼的数量.

4.　模型分析

为简化方程，引入新参数，即令

α1=k2k3,α2=k1k5(rb/2)(1－k4)

α3=(1－k3)k6,α4=(1－k4)(1－k5)

再作变量替换：

Ut=Lt/Lmax,Vt=Q/Lmax，

则上述方程组化为：

Ut+1=［α1Ut+α2(1－E)Vt］exp(1－U2t)

Vt+1=α3Ut+α4Vt

可解得平衡解为：

Us=0

Vs=0和Us=1+lnα1+α2(1－E)α31－α4

VS=α31－α41+lnα1+α2(1－E)α31－α4

需要解决的是平衡解的稳定性问题，为解决这一问题，采用以下处理方法：将原方程组记为：

Ut+1=F1(Ut,Vt)

Vt+1=F2(Ut,Vt)，右端在(Us,Vs)处的线性化矩阵为：A=??F1??U??F1??V

??F2??U??F2??V(Us,Vs).

容易知道，系数矩阵A由诸参数αi(i=1,2,3,4)及E所决定.如果对于一组参数，系数矩阵有模大于1的特征根，则显然相应的平衡解是不稳定的；反之，若所有特征根的模均小于1，则所讨论的平衡解必然稳定.当αi(i=1,2,3,4)给定之后，矩阵特征根只是捕捞强度E的函数.

5.　模型解释

取α1=0.335,α2=0.10,α3=0.033,α4=0.01，则

1.　在E=0.12临近，有一个分支点，当捕捞强度低于分支值时解在两个状态间震**.这种现象是不难解释的：当捕捞强度过低时，湖中的鱼过量繁殖超过了自然资源允许的最大值，因而造成第二年湖鱼数大大降低，但由于过量繁殖鱼群的迁徙，第二年的海鱼数则大大增加了，这就引起了第三年湖中新孵化的幼鱼数急剧上升，这就形成了周期震**.

2.　当0.12