1.　问题的提出

在自然环境中，生物种群丰富多彩，它们之间通常存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食等这样的三种基本关系.本节将从稳定状态的角度，对具有如上提及的某种关系的两个种群的数量发展进行讨论.

设想有两个种群为了争夺有限的同一食物来源和生活空间时，从长远的眼光来审视，其最终结局是它们中的竞争力弱的一方首先被淘汰，然后另一方独占全部资源而以单种群模式发展，还是存在某种稳定的平衡状态，两个物种按照某种规模构成双方长期共存？

这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠.

2.　模型假设

以x1(t)、x2(t)表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻t的数量．

(1)　资源有限，设其总量为1，Ni(i=1,2)分别表示甲、乙种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；

(2)　种群数量的增长率x′i(t)(i=1,2)与该种群数量xi(t)(i=1,2)成正比，同时也与有闲资源si(t)(i=1,2)成正比；

(3)　各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，σi(i=1,2)分别表示甲、乙二种群对对方已占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”.比方，若σ1∈(1,2）时，表示在乙种群看来，甲种群是“奢侈的”，它可以在甲种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若σ11时，说明乙种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于乙种群，甲种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，σi(i=1,2)反映了甲、乙二种群适应能力，σ1越小、σ2越大，则甲种群的相对适应能力越强；

(4)　ri(i=1,2)分别表示甲、乙二种群的固有增长率.

3.　模型建立

根据模型假设，可得如下数学模型：

x′1=r1·x1·S1

x′2=r2·x2·S2

s1=1－x1/N1－σ1·x2/N2

s2=1－σ2·x1/N1－x2/N2

经化简，得：

x′1=r1x1·(1－x1/N1－σ1·x2/N2)

x′2=r2x2·(1－σ2·x1/N1－x2/N2)

4.　模型求解与分析

模型方程的解没有解析表达式，我们的兴趣和目的是：当t充分大时，x1(t)、x2(t)的变化趋势怎样？利用平衡点的稳定性，对两种群的变化趋势可作出判断.令模型方程的右端项

r1·x1·(1－x1/N1－σ1·x2/N2)=0

r2·x2·(1－σ2·x1/N1－x2/N2)=0，

求解可得该模型的四个平衡点：

P1(0,0）、P2(N1,0）、P3(0,N2）、P41－σ11－σ1·σ2·N1,1－σ21－σ1·σ2·N2.

(1)　讨论平衡点P1(0,0）的稳定性

为此，将微分方程

x′1=r1·x1·(1－x1/N1－σ1·x2/N2)

x′2=r2·x2·(1－σ2·x1/N1－x2/N2)

的右端函数以其在P1(0,0）的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统

x′=r1·x1

x′2=r2·x2，

此时系数矩阵A=r10

0r2，其两特征值λ1=r10,λ2=r20，按照上一节中判断平衡点稳定性的方法，计算得

P=－(a11+a22)=－(r1+r2)0,p2≥4q,

P1(0,0）是不稳定性的（结点）；这表明两种群不会同时灭绝.

(2)　确定平衡点P2(N1,0）的稳定性

将微分方程

x′1=r1·x1·(1－x1/N1－σ1·x2/N2)

x′2=r2·x2(1－σ2·x1/N1－x2/N2)

的右端函数以其在P2(N1,0）的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统

x′1=－r·(x1－N1)－σ1N1N2r1·x2

x′2=(1－σ2)r2·x2，

此时系数矩阵为

A=－r1－σ1N1N2·r1

0(1－σ2)·r2，

A的两个特征值分别为：

λ1=－r11时，平衡点P2(N1,0）是（局部）稳定的；条件σ21表示在消耗供养乙的资源中甲强于乙，此时，乙种群终将在竞争中灭绝，而甲种群能够一直存活下去并趋向于其最大容量N1.

(3)　确定平衡点P3(0,N2）的稳定性

与2的讨论类似，可以得平衡点P3(0,N2）是（局部）稳定的充要条件为σ11；条件σ11表示在消耗供养甲的资源中乙强于甲，此时，甲种群终将要在竞争中灭绝，而乙种群能够一直存活下去.

(4)　确定平衡点P41－σ11－σ1σ2·N1,1－σ11－σ1σ2·N2的稳定性

平衡点P41－σ11－σ1σ2·N1,1－σ11－σ1σ2·N2只有在第一象限内方有实际意义，为此应有σi(i=1,2)同时大于“1”或同时小于“1”，采用类似2的分析，可以得到当σi(i=1,2)同时大于“1”时，平衡点P4为一鞍点，是不稳定的；当σi(i=1,2)同时小于“1”时，平衡点P4为一稳定的结点.σ1