可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少？为什么？它们的形状为什么是这样的？

找一个可口可乐饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米).根据有关的数据,要求通过数学建模的方法来回答相关的问题.

1.　参考问题

我们先看这样的数学题:“用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器,问应当如何设计,才能使用料最省,这时圆柱的直径和高之比为多少？”(一般数学分析或高等数学教材中导数的应用(极值问题)部分的一道例题).实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径r和高h)为多少？

表面积用S表示,体积用V表示,则有

S(r,h)=2πrh+2πr2=2π(r2+rh),V=πr2h,h=V/(πr2).

0=S′(r)=2π(2r－V/(πr2))=2πr22r3－Vπ,r=3V2π,

h=Vπr2=Vπ34π2V2=34π2V3π3V2=4Vπ=2r=d.即圆柱的直径和高之比为1∶1.

2.　问题分析和模型假设

首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.

实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.

图210饮料罐的实际形状与假设形状

用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚,因为要使劲拉),假设除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同,记作b,顶盖的厚度为αb.想象一下,硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).因此,我们可以进行如下的数学建模.这时必须考虑所用材料的体积.用S表示表面积,体积用V表示.

3.　模型的建立

明确变量和参数：设饮料罐的半径为r(因此,直径为d=2r),罐的高为h.罐内体积为V.b为除顶盖外的材料的厚度.其中r,h是自变量,所用材料的体积SV是因变量,而b和V是固定参数,α是待定参数.

饮料罐侧面所用材料的体积为

(π(r+b)2－πr2)(h+(1+α)b)=(2πrb+πb2)(h+(1+α)b)

=2πrbh+2πr(1+α)b2+hπb2+π(1+α)b3

饮料罐顶盖所用材料的体积为αbπr2,饮料罐底部所用材料的体积为bπr2.所以,SV和V分别为SV(r,h)=2πrhb+(1+α)πr2b+2πr(1+α)b2+hπb2+π(1+α)b3,V(r,h)=πr2h

因为b0,g(r.h)=0

其中S是目标函数,g(r,h)=0是约束条件,V是已知的(即罐内体积一定),即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r,h和α使得r,h和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.

4.　模型的求解

一种解法(从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题).从g(r,h)=πr2h－V=0解出h=V/(πr2),代入S,使原问题化为:求h使S最小,即,求r使S(r,h(r))=b2Vr+π(1+α)r2最小.

求临界点:令其导数为零得dSdr=2b(1+α)πr－Vr2=2br2［(1+α)πr3－V］=0.解得r=3V(1+α)π,h=Vπ32(1+α)πV2=2(1+α)3V(1+α)π=(1+α)r=(1+α)d2.

测量数据为hd=2,即1+α=4,α=3.即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.

为验证这个r确实使S达到极小.计算S的二阶导数S″=4b2π(1+α)+2Vr30,(因r0).所以,这个r确实使S达到局部极小,因为临界点只有一个,因此也是全局极小.

模型另一种解法——Lagrange乘子法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题).当然,这是把问题化为多元函数极值问题来处理了.

在上述解法中,从g(r,h)=πr2h－V=0解出h是关键的一步.但是常常不容易或不能从约束条件g(r,h)=0中解出一个变量为另一个变量的函数(或者虽然能解出来,但很复杂),无助于问题的求解.但是,如果g(r,h)=0表示变量间的隐函数关系,并假设从中能确定隐函数h=h(r)(尽管没有解析表达式,或表达式很复杂),那么,我们仍然可以写成S(r,h(r)),而且,由隐函数求导法则,我们有??g??r+??g??hdhdr=0,因此,(r0,h0)是S的临界点的必要条件为

dSdr=??S??r+??S??hdhdr=??S??r－??S??h??g??r??g??h=0,其中dhdr=－??g??r??g??h.

假设(r0,h0)是S的临界点,则有??S??r??g??r(r0,h0)=??S??h??g??h(r0,h0)=λ,于是,在(r0,h0)处,

??S??r－λ??g??r=????r(S－λg)=0,??S??h－λ??g??h=????h(S－λg)=0.

因此,如果我们引入L(r,h,λ)=S(r,h)－λg(r,h),那么,就有

??L??r=??S??r－λ??g??r=0

??L??h=??S??h－λ??g??h=0

??L??λ=g=0

把问题化为求三元函数L的无条件极值的问题.函数L称为Lagrange函数,这种方法称为Lagrange乘子法.具体到我们这个问题,有如下的结果.

引入参数λ≠0,令L(r,h,λ)=2πrhb+(1+α)πr2b－λ(πr2h－V).求临界点

??L??r=2πhb+2(1+α)πrb－2λπrh=0

??L??h=2πrb－λπr2=πr(2b－λr)=0

??L??λ=－(πr2h－V)=0

从第2,3式解得h=Vπr2,λ=2br,代入第1式得

2πbVπr2+2(1+α)πrb－22brπrVπr2=2πbr1+α－Vπr3=0,所以r=3V(1+α)π,h=Vπ3V(1+α)π2=3(1+α)2π2V3V2π3=(1+α)3V(1+α)π,和前面结果相同.

同学们可能会觉得这个方法不如前一个方法简单,但是当你们做后面习题时你们就会体会到Lagrange乘子法的优点,以及进一步体会到使用数学软件的重要性和必要性.

5.　模型验证及进一步的分析

有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为V=π×32×12≈339.3