.6实物交换问题(1 / 1)

甲有玉米若干千克,乙有山羊若干只.因为各自的需要,甲乙想交换彼此的东西,问怎样做才能完成交换活动?

1. 模型准备

实物交换问题在个人之间或国家之间的各类贸易中经常遇到.通常,交换的结果取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度.由于偏爱程度是一个模糊概念,较难给出一个确切的定量关系,此时,可以采用图形法建模的方式来描述双方如何交换物品才能完成交换活动.

2. 模型假设

(1) 交换不涉及其他因素,只与交换双方对所交换物品的偏爱程度有关

(2) 交换按等价交换原则进行

3. 模型构成

设交换前甲有玉米为X千克,乙有山羊Y只,交换后甲有玉米为x千克、山羊y只.则在交换后乙有玉米为X-x千克、山羊Y-y只,于是可以用一个平面坐标中的二维点坐标(x,y)描述一种交换方案,而这些坐标点满足0≤x≤X,0≤y≤Y,即交换只在这个平面矩形区域内发生.引入二维点坐标后,我们就把所考虑的范围限制在一个有限的平面区域中,从而使问题得到简化.但这还不够,因为交换只是在其中的一个点发生.为找到这个点,由假设1,引入如下衡量偏爱程度的无差别曲线概念.

注意到对甲方来说,交换后其占有不同数量的玉米和山羊具有的满意度是不同的,显然其满意度是x,y的函数f(x,y).由于交换后某方认为同样满意的情况一般不是一种,如对甲方来说,占有x1数量的玉米、y1数量的山羊与占有x2数量的玉米、y2数量的山羊可以达到同样的满足感c1,因此有f(x1,y1)=f(x2,y2)=c1,这说明对甲方来说交换结果在点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)是没有差别的,而所有与点P1(x1,y1)具有同样满意度的点组成一条对甲无差别的曲线f(x,y)=c1.类似地,如果把甲在交换后的满足感c1修改为c2,就可以得到另一条对甲无差别的曲线f(x,y)=c2.因此,甲有无数条无差别曲线,将所有这些无差别曲线表示为f(x,y)=c,式中c称为在点(x,y)的满意度.

无差别曲线是一条由隐函数确定的平面曲线或可以看成二元函数f(x,y)的等高线,虽然f(x,y)没有具体的表达式,但我们可以讨论这族无差别曲线的特点.

无差别的曲线f(x,y)=c的特点:

(1) 无差别曲线是彼此不相交的

因为若两条无差别曲线相交,则在交点处具有两个不同的满意度,这与无差别曲线定义矛盾.

(2) 无差别曲线是单调递减的

由交换常识可知在满意度一定的前提下,交换的两种物品成反比关系.

(3) 满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方

因为对甲来说,用同样的玉米换取更多的山羊会更满意.

(4) 无差别曲线是下凸的

因为交换的特点是物以稀为贵.当某人拥有较少的物品时,他愿意用其较少部分物品换取较多的另一种物品,反之当其拥有较多的物品时,他愿意用其较多部分物品换取较少的另一种物品.这在数学上可以描述为当x较小时,交换是用较少的Δx换取较多的Δy、当x较大时,交换是用较多的Δx换取较少的Δy.具有这种特点的曲线是下凸的(见图26),于是可以画出对甲的无差别曲线族图形(见图27).

图26下凸曲线的特点

图27对甲无差别曲线族

图28同一坐标系中甲与乙的

无差别曲线及交换路径

类似地,可以得到对乙无差别曲线g(x,y)=d.

由于交换是在甲乙双方进行的,甲方的物品减少对应乙方物品的增加,反之亦然.将双方的无差别曲线画在一起可以观察到交换的发生特点.具体画法见图28:

于是在交换区域中,任何一点都有甲和乙各一条无差别曲线通过.甲乙两条无差别曲线的交点表示甲乙交换发生.两族无差别曲线中的曲线彼此发生相交的情况只有相切于一点、或者相交于两点的可能.如果交点不是切点,则过此点的甲乙两无差别曲线还在另一点相交,由无差别曲线的定义有在这两条曲线上甲乙双方具有同样的满意度,而这是不可能的.因为这两条曲线一条是下凸另一条是上凸的,过所围区域内任一点的无差别曲线具有与这两条无差别曲线不同的满意度且一定与其中的一条相交,这就导致在同一交点处对某方来说有两种满意度的情况,因此交点不是切点时是不发生实际交换.简单分析可知相切于一点的点都可以发生实际交换.这些相切于一点的点构成交换区域的一条曲线,记为MN,我们称其为交换路径.这样,借助无差别曲线概念将交换方案从矩形区域缩小为其中的一条交换路径曲线MN上.

关于实际交换究竟在交换路径曲线MN的哪一点上发生,要借助交换的原则.由假设2,交换按等价交换的原则.设玉米的价格为每千克p元,山羊的价格为每只q元,则有交换前甲方拥有玉米的价值为pX,乙方拥有山羊的价值为qY.若交换前甲乙拥有物品的价值相同,即pX=qY,则交换发生后,甲方拥有玉米和山羊的价值为px+qy,乙方拥有玉米和山羊的价值为p(X-x)+q(Y-y),按等价交换的原则应该有px+qy=p(X-x)+q(Y-y).利用关系pX=qY,可以得出实际交换的点(x,y)满足关系式:x/X+y/Y=1.

图29等价交换发生的位置

此曲线是一条直线,在交换路径坐标系中画出此曲线就得到实际交换发生的点(如图29所示).至此,我们找到了实际交换的方案.

简评:本题巧妙地用图形方法建模解决了涉及到不易定量表示的模糊概念建模问题.其中在建模中引入的无差别曲线概念及对无差别曲线的讨论很有特点,它给出了怎样研究和了解没有具体关系式函数的特征的一种方法.