为什么火箭采用三级发射卫星呢？现加以研究.

1.　问题分析

火箭是一个复杂的系统,为了使问题简单明了,这里只从动力系统及整体结构上分析,并假定引擎是强大的.

(1)　为什么不用一级火箭发射人造卫星？

①　卫星进入轨道,火箭所需最低速度.

②　火箭推进力及速度的分析.

图211卫星轨道

③　一级火箭末速度上限(目前技术条件下).

(2)　理想火箭模型.

(3)　理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统.

2.　模型假设

(1)　卫星轨道为绕地球中心某一平面的圆,卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面圆周运动,如图211所示.

(2)　地球是固定于空间中的均匀球体,其他星球对卫星引力忽略不计.地球半径为R,中心为O,地球质量看成集中于球心(根据地球为均匀球体的假设),其半径为r,卫星质量为m,根据牛顿定律,地球对卫星的引力为:

F=G×mr2.

其中G为引力常数,可根据卫星在地面的重量算出,即:

G×mR2=mg,G=gR2

代入上式得:

F=gR2×mr2=mg×Rr2,

由假设(1),卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心力,故又有:

F=m×v2r,从而速度为:v=R×gr.

取g=9.81m/s2,R=6400km,又取卫星离地面高度为600km,则r=7000km,此时可得:v=R×gr=7.6km/s.

(3)　火箭在喷气推动下做直线运动,火箭重力及空气阻力均不计.

3.　模型建立

设在t时刻,火箭质量为m(t),速度为v(t),均为t的连续可微函数,由泰勒展式有:

m(t+Δt)－m(t)=dmdtΔt+o(Δt2),

这个质量的减少,是由于燃料燃烧喷出气体所致.设喷出气体相对于火箭的速度为u(就某种燃料而言为常数),则气体相对于地球运动速度为v(t)－u.据动量守恒定律:

m(t)v(t)=m(t+Δt)v(t+Δt)－dmdtΔt+o(Δt2)(Δt－u).

从上两式可得:

mdvdt=－udmdt,由此解得:v(t)=v0+u·lnm0m(t)

此处:v0=v(0),m0=m(0).上式第一式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与气体相对于火箭运动速度的乘积.第二式表明,在v0和m0一定时,v(t)由喷发速度(相对于火箭)u及质量比m0/m(t)决定,这为提高火箭速度找到了正确的途径:提高u(从燃料上想法),减少m(t)(从结构上).完全合乎实际.

火箭—卫星系统质量可分成三部分:mp(有效负载,如卫星),mF(燃料质量),mS(结构质量).发射一级火箭运载卫星时,最终(燃料耗尽)质量为mp+mS,末速度:v(t)=u·lnm0m(t),(v0=0).

以目前技术,很难做到ms≤18mF,即msmF+ms≥19.假设ms=λ(mF+ms)=λ(m0－mF)代入上式得:

v(t)=u·lnm0λm0+(1－λ)mp.

根据现有技术条件和燃料性能,u只能达到3km/s,即使火箭不带卫星,也不计空气阻力及火箭本身重量,取λ=19,由上式得:

v≤u·ln1λ=u·ln9≈6.6km/s.因此用一级火箭发射卫星,至少目前条件下无法达到在相应高度所需的速度(前面推出速度).

经检查上面设计,发现该火箭模型缺点在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底,但是当燃料耗尽时,发动机加速的仅是一个空的燃料舱.因此,有待改进火箭的设计.

理想的火箭模型应该是随着燃料燃烧随时抛弃无用的结构.在t到(t+Δt)时间内,丢掉总质量为1(包括结构质量和燃烧掉的质量),设丢掉的结构质量为λ(0