事物都处于运动变化之中，有着广泛意义的问题是需要研究事物变化的快慢程度，即函数的变化率问题，本节重点在于认识微积分的关键概念——导数，包括导数的定义、几何意义、可导与连续的关系等.

一、　变化率问题的实例

引例211求变速直线运动的瞬时速度.

设有一质点做变速直线运动，其运动方程为s=s(t)，求质点在t=t0时的瞬时速度v(t0).图211

如图211所示，当时间由t0改变到t0+Δt时，记t=t0时质点的位置坐标为s0=s(t0).当t从t0增加到t0+Δt时，s相应地从s0增加到s0+Δs=s(t0+Δt).因此，质点在Δt这段时间内的位移是Δs=s(t0+Δt)－s(t0).

质点在t0+Δt这段时间内的平均速度为=ΔsΔt=s(t0+Δt)－s(t0)Δt.

由于质点速度是连续变化的，在Δt时间内速度变化不大，因此，瞬时速度v(t0)可以近似地用平均速度代替，即v(t0)≈=s(t0+Δt)－s(t0)Δt.

Δt越小，就越接近瞬时速度v(t0)，由极限思想，当Δt→0时，ΔsΔt的极限为v(t0)，即：v(t0)=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0=limΔt→0s(t0+Δt)－s(t0)Δt.引例212求平面曲线的切线方程.

如图212所示，已知C:y=f(x)，M0(x0,y0)为C上一点，求M0处的切线的斜率.

图212

在M0附近任取C上一点M（x0+Δx,y0+Δy），则割线M0MkM0M=ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx.当Δx→0时，点M沿曲线C趋向M0，割线M0M就绕M0转动，割线M0M不断地趋向于切线M0T，由极限思想，我们知道割线M0M的极限位置是切线M0T.

如果kM0M=ΔyΔx趋向于某个极限，则极限值就是曲线在M0处切线的斜率k，设切线的倾斜角α，所以曲线y=f(x)在点M0处的切线斜率为k=tanα=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx.上述两个引例从抽象的数量关系来看，有一个共性，即所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.我们在数学上进行抽象以后，就得到了函数导数的定义.

二、　导数的定义

1.　一点处导数的定义

定义211设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义，当自变量x在从x0变化到x0+Δx时，函数f(x)有相应的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0),若极限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，极限值称为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为f′(x0)，即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx.若极限limΔx→0ΔyΔx不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.

我们也可以把导数f′(x0)记为y′x=x0或dydxx=x0或df(x)dxx=x0.

导数定义中，若令x=x0+Δx或h=Δx，则导数定义式又有另外的形式:f′(x0)=limx→x0f(x)－f(x0)x－x0或f′(x0)=limh→0f(x0+h)－f(x0)h.因变量增量与自变量增量之比ΔyΔx表示因变量y=f(x)在区间［x0,x0+Δx］上的平均变化率，而f′(x0)则是f(x)在点x0处的(瞬时)变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.

根据导数的定义，引例中，位移s=s(t)对时间t的导数s′(t0)是t0时刻的速度；f′(x0)是曲线y=f(x)在(x0,f(x0))点的切线斜率.

例211已知函数f(x)=x2，求f′（1）　.

解f′（1）＝limΔx→0f(1+Δx)－f（1）Δx=limΔx→0(1+Δx)2－1Δx=limΔx→0(Δx+2)=2；

或f′（1）＝limx→1f(x)－f（1）x－1=limx→1x2－1x－1=limx→1(x+1)=2.

例212设f′(x0)=－3，求下列极限：

（1）　limΔx→0f(x0+2Δx)－f(x0)Δx；（2）　limh→0f(x0+h)－f(x0－h)h.

解（1）　limΔx→0f(x0+2Δx)－f(x0)Δx=2limΔx→0f(x0+2Δx)－f(x0)2Δx=2f′(x0)=－6.

（2）　limh→0f(x0+h)－f(x0－h)h=limh→0f(x0+h)－f(x0)+f(x0)－f(x0－h)h

=limh→0f(x0+h)－f(x0)h+limh→0f(x0－h)－f(x0)－h=2f′(x0)=－6.

2.　左右导数

前面我们有了左、右极限的概念，因此，我们可以给出左、右导数的概念.

定义212若极限limΔx→0－ΔyΔx或limΔx→0+ΔyΔx存在，则称f(x)在x0处左(或右)可导，且称极限值为f(x)在x0的左(或右)导数，记为f-′(x0)＝limΔx→0－ΔyΔx=limΔx→0－f(x0+Δx)－f(x0)Δx，

f+′(x0)＝limΔx→0+ΔyΔx=limΔx→0+f(x0+Δx)－f(x0)Δx.定理211f(x)在x0可导的充要条件为f-′(x0)和f+′(x0)存在且相等，如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且f+′(a)和f-′(b)都存在，那么称f(x)在闭区间［a,b］上可导.

3.　导函数的定义

定义213如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点x都对应一个导数值，则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数(或导数)，记作y′，f′(x)，dydx或df(x)dx，即y′=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx.显然，函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值，即f′(x0)=f′(x)x=x0.三、　基本初等函数的导数公式

利用导数的定义求导，一般分三步：

第一步求增量Δy=f(x+Δx)－f(x)；

第二步算比值ΔyΔx=f(x+Δx)－f(x)Δx；

第三步取极限y′=limΔx→0ΔyΔx.

下面利用导数的定义来导出几个基本初等函数的导数公式.

例213利用导数的定义，求函数y=x2的导数f′(x).

解f′(x)=limΔx→0(x+Δx)2－x2Δx=limΔx→0(2x+Δx)=2x，

即(x2)′=2x.

对于一般的幂函数y=xμ，我们可以给出一个类似的结果，(xμ)′=μxμ－1(μ为实数，x0).例如，当μ=12时，y=x12=x(x0)的导数为(x)′=12x；

当μ=－1时，y=x－1=1x(x≠0)的导数为1x′=－1x2.

例214利用导数的定义证明(sinx)′=cosx.

证明(sinx)′=limΔx→0sin(x+Δx)－sinxΔx=limΔx→02sinΔx2cosx+Δx2Δx

=limΔx→0sinΔx2Δx2·cosx+Δx2=cosx.

同理可得(cosx)′=－sinx.

例215利用导数的定义求函数f(x)=logax(a0,a≠1)的导数f′(x).

解f′(x)=limh→0loga(x+h)－logaxh=limh→0logax+hxh

=limh→01hloga1+hx=limh→0loga1+hx1h

=1xlimh→0loga1+hxxh=1xlogae=1xlna.

即(logax)′=1xlna.特别地，(lnx)′=1x.

例如，(log3x)′=1xln3.

类似地，可以用导数的定义求出其他基本初等函数的导数.

基本初等函数的求导公式表如下：

（1）　常数(C)′=0.

（2）　幂函数(xμ)′=μxμ－1(μ为实数，x0).

（3）　指数函数(ax)′=axlna，特别的有：(ex)′=ex.

（4）　对数函数(logax)′=1xlna，特别的有：(lnx)′=1x.

（5）　三角函数

(sinx)′=cosx；(cosx)′=－sinx.

(tanx)′=sec2x；(cotx)′=－csc2x.

(secx)′=secxtanx；(cscx)′=－cscxcotx.

（6）　反三角函数

(arcsinx)′=11－x2；(arccosx)′=－11－x2；

(arctanx)′=11+x2；(arccotx)′=－11+x2.

例216已知f(x)=sinxx