基本初等函数在其定义域内都是连续的.

根据极限运算法则和连续函数定义可知：有限个连续函数的和、差、积、商(分母不为0)也是连续函数；由连续函数复合而成的复合函数也是连续函数.因此，得到初等函数连续性的重要结论:

一切初等函数在其定义区间内都是连续函数，即如果点x0是初等函数f(x)定义区间内一点，那么limx→x0f(x)=f(x0).注

意利用函数的连续性来求函数的极限.例147求limx→0ln(1+x)x.

解limx→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)1x=lnlimx→0(1+x)1x=ln　e=1.

例148求limx→0x2+1－1x.

解当x→0时，分母、分子的极限都为零，此极限为00型，要设法消去为零因式，首先分子有理化.limx→0x2+1－1x=limx→0(x2+1－1)(x2+1+1)x(x2+1+1)=limx→0xx2+1+1=0.图142

四、　闭区间上连续函数的性质

1.　最大值和最小值的定理

定理144(最大值与最小值定理)在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.

闭区间［a,b］上的连续函数f(x)在点x=a和x=ξ1处取得最小值m，在点x=ξ2处取得最大值M(如图142).

推论141(有界性定理)闭区间上的连续函数在该区间一定有界.注

意定理144中“闭区间”和“连续函数”是两个重要条件，缺少一个，定理不能保证成立.图143

例如：函数f(x)=1－x0≤x