连续性是函数的重要性态之一，它是与函数的极限密切相关的另一个基本概念.在实际问题中普遍存在连续性问题，例如，随着时间的连续变化，气温会连续地变化.从图形上看，函数的图像是连绵不断的.

一、　函数的连续性

1.　函数的增量

变量u由初值u1变到终值u2，终值u2与初值u1的差u2－u1称为u的增量，记为Δu，即Δu=u2－u1.说明Δu可正，可负，也可为零，这些取决于u1与u2的大小.x－x0称为自变量x在x0点的增量，记为Δx，即Δx=x－x0或x=x0+Δx，并且，x→x0　??　Δx→0；相应的函数值差f(x)－f(x0)称为函数f(x)在x0点的增量，记为Δy，即Δy=f(x)－f(x0)=y－y0，亦即f(x)=f(x0)+Δy或y=y0+Δy，并有f(x)→f(x0)　??　f(x0+Δx)－f(x0)→0　??　Δy→0.

2.　函数连续性的定义

定义141设函数y=f(x)在x0附近有定义，若limx→x0f(x)=f(x0)，则称函数y=f(x)在点x0处连续.

例如，（1）　因为limx→2f(x)=limx→2(2x－1)=3=f（2）　，所以函数f(x)=2x－1在点x=2连续.

（2）　由于limx→0f(x)=limx→0xsin1x=0=f(0)，所以函数f(x)=xsin1xx≠00x=0在点x=0处连续.

根据函数增量的概念：limx→x0f(x)=f(x0)可用limΔx→0Δy=0表示.由此，可得函数连续的另一种定义.

定义142设y=f(x)在x0附近有定义，若当Δx→0时，有Δy→0，即limΔx→0Δy=0，则称f(x)在x0点连续.注

意函数y=f(x)在点x0处连续，必须同时满足以下三个条件(通常称为三要素)：

（1）　函数f(x)在点x0处有定义；

（2）　极限limx→x0f(x)存在；

（3）　limx→x0f(x)=f(x0).定义143设函数f(x)在点x0点左附近(或右附近)有定义，若f(x0－0)=limx→x-0f(x)=f(x0)或f(x0+0)=limx→x+0f(x)=f(x0)，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.

定理141函数f(x)在点x0处连续的充要条件是函数f(x)在点x0处左连续且右连续，即limx→x0f(x)=f(x0)　??　f(x0－0)=f(x0+0)=f(x0).例141讨论函数f(x)=x+2x≥0x－2x